오일러-마스케로니 상수

수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ 복소수 {$\mathbb{R}(\mathrm{i})$} 허수 순허수 $\mathbb{R}$ 실수 {$\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$} $\mathbb{I}$ 무리수 {$\sqrt3, \sqrt 5, \pi,...$} $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3, -4/7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 상초실수 초실수 초현실수
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,-0.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 $i$ 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ $\pi$ 원주율 ≈ 3.14159 26535 ... $e$ 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb{Q}$) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β* - δ - α - C2 - M1 - B2 - B4 - Λ - K - K - K - B´L - μ - EB - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

오일러-마스케로니 상수( - 常數, Euler-Mascheroni constant)는 수론에서 자주 쓰이는 값으로, 조화급수(harmonic series)와 자연 로그의 차의 극한으로 정의된다. 줄여서 오일러 상수라고도 불리나, 오일러 수 e와는 관련이 없다(구하는 과정에서 자연로그를 쓰기는 한다).

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx$

그 값을 소수점이하 50자리까지 구하면 다음과 같다.

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992

역사

스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 1735년 처음 정의했다. 그는 이 상수를 C와 O로 표시했다. 그리고 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니는 이 수를 A와 a로 표시했다. 이 두 사람의 어느 저술에도 $\gamma$로 이 상수를 표시한 적이 없다. 그러나 후에 감마 함수와의 연관성이 발견되면서 이러한 표기가 굳어졌다.

속성

$\gamma$ 값이 유리수인지 아닌지는 아직 알려져 있지 않다. 연분수(Continued fraction) 분석에 의해 만약 오일러 상수가 유리수라면 그 분모의 값은 적어도 $10^{242080}$ 이상이라는 것이 알려져 있다.

감마함수와의 관계

감마 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

$-\gamma = \lim_{z\to 0} \left\{\Gamma(z) - \frac1{z} \right\} = \lim_{z\to 0} \left\{\Psi(z) + \frac1{z} \right\}.$

제타함수와의 관계

리만 제타 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

$\begin{align}\gamma &= \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{m} \\ &= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{2^{m-1}m} \\ &= \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right ) = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right ) \end{align}$

적분식

다음 적분 식으로도 오일러-마스케로니 상수를 얻을 수 있다.

$\begin{align}\gamma &= - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx \\ &= -\int_0^1 \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right) dx \\ &= \int_0^\infty \left (\frac1{e^x-1}-\frac1{xe^x} \right)dx = \int_0^1\left(\frac 1{\ln x} + \frac 1{1-x}\right)dx\\ &= \int_0^\infty \left (\frac1{1+x^k}-e^{-x} \right)\frac{dx}{x},\quad k>0.\end{align}$

외부 고리

• Euler-Mascheroni constant from MathWorld