항등식

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수학에서 항등식(恒等式)은 등식의 일종으로, 항등식에는 크게 두가지의 정의가 있다.

첫번째의 정의는 등식 내부의 특정한 변수가 복소수의 범위에서 어떤 값으로 변하든 항상 참을 만족하는 등식이다.

예 : x에 대한 항등식(x+2)^2=x^2+4x+4에서 x가 복소수의 범위에서 어떤 값으로 변해도 항상 성립한다.


두번째의 정의는 등식의 양변에서 특정한 문자의 차수에따른 문자들의 계수가 각각 모두 같은 등식이다.

예 : x에 대한 항등식2x^3-3x^2+13x+2=2x^3-3x^2+13x+2은 등식의 양변에서 x의 차수에 따른 x의 계수들이 각각 모두 같다.


항등식은 이 특정한 변수들을 구분하기위해 (특정한 문자)에 대한 항등식이라고 부르며, 항등식에서 변수로 분류되는 문자 이외의 문자들은 모두 '상수'이여야하는 약속이 있다.

등식에는 모두 방정식,항등식,항상거짓인 등식(불능)이 있다. 이 세가지 부류의 등식들을 효율적으로 구분하기위해서, 항등식만의 독특한 성질을 따로 분류하여야한다. 연산의 기본성질을 활용하여 변형되는 식들은 모두 항등식이다.

예를 들어,  \sin \theta=1 의 경우는 특정 값에 대해서만 참을 만족하는 반면,  \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\theta 값에 관계 없이 항상 참을 만족한다. 즉, 두 번째의 식은 항등식이다.

사칙연산에 있어 다음은 모두 항등식이다.

  • a + 0 = 0 + a = a
  • a - 0 = a
  • a \times 1 = 1 \times a = a
  • {a \over 1} = a


모든 x에 대하여 성립하다. 임의의 x에 대하여 성립한다. x값에 관계없이 성립한다. 어떤 x의 값을 대입해도 성립한다.

위의 표현은 모두 위의 첫번째 정의에서 나온표현들로, 어떤 등식이 이 표현의 수식을 받는다면 항등식의 정의에 따라 그 등식은 x에 대한 항등식이다.

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