오일러의 네 제곱수 항등식

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오일러의 네 제곱수 항등식(Euler's four-square identity, -數 恒等式)은 스위스수학자레온하르트 오일러가 제출한 항등식이다. 이하와 같은 구조를 갖고 있다:

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\,
(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 +\,
(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2 +\,
(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 +\,
(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2.\,

이 항등식은 두 제곱수의 경우에 관찰할 수 있는 단순한 항등식(브라마굽타-피보나치 항등식)인

(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)= (a_1 b_1 - a_2 b_2)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1)^2

을 일반화한 결과이다. 오일러가 이 항등식을 처음으로 쓴 것은 크리스티안 골트바흐에게 보내는 1748년 5월 4일의 편지에서였다.[1][2] 이 항등식은 단순한 식의 전개만으로 증명할 수 있어 일반적인 복소수체 위에서뿐 아니라 모든 가환환 상에서 성립하며, 주로 라그랑주의 네 제곱수 정리 등을 증명하는 데 이용한다. 또, 이 항등식은 그 자체로 사원수 a, b의 노름에 대해 \|ab\| = \|a\|\|b\| 가 성립함을 의미하기도 한다. 보다 일반화된 형태로는 데겐의 여덟 제곱수 항등식이 있다.

주석[편집]

  1. Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, R.E. Bradley and C.E. Sandifer (eds), Elsevier, 2007, p. 193
  2. Mathematical Evolutions, A. Shenitzer and J. Stillwell (eds), Math. Assoc. America, 2002, p. 174