사원수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수 단위 = \sqrt{-1}
\pi 원주율 ≈ 3.14159 26535 ...
e 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( \notin \mathbb{Q})

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - L - μ - EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

사원수(四元數, 영어: quaternion 쿼터니언[*])는 복소수를 확장해 만든 새로운 수 체계이다. 윌리엄 로언 해밀턴이 발견하였으므로 해밀턴 수라고도 불리기도 한다. 사원수의 가장 특이한 점은 수가 가환적이지 않다는 것이다. 실수나 복소수는 곱하는 순서에 관계 없이 항상 계산 결과가 같지만 사원수는 왼쪽에서 곱하느냐 오른쪽에서 곱하느냐에 따라 계산 결과가 달라진다. 즉, 사원수에선 곱셈의 순서가 매우 중요하다.

역사[편집]

사원수는 아일랜드의 수학자 윌리엄 로언 해밀턴이 1843년에 발견하였다. 그러나 강체의 회전을 설명하는 사원수 표현은 그보다 훨씬 오래전에 사용되었으며, 1776년의 오일러의 저작에서도 찾을 수 있다.

사원수의 발견[편집]

브로엄 다리에 새겨진 기념비. 이 곳에서 해밀턴이 사원수를 발견하였다고 한다.

해밀턴은 복소수가 2차원 평면상의 점으로 표현될 수 있다는 사실로부터, 3차원 공간에서 점을 표현하는 같은 방법을 찾으려 하였다. 3차원 공간에서의 정점은 3개의 수로 이루어지며, 해밀턴은 그 3개의 수들을 어떻게 더하고 곱할 수 있는지에 관해 생각해왔다. 그러나 그는 두개의 정점간의 나누기를 어떻게 정의할지 알지 못했고, 난관에 부딪히고 말았다.

1843년 10월 16일, 해밀턴은 그의 아내와 더블린의 로열 운하(영어: Royal Canal, 아일랜드어: An Chanáil Ríoga)을 걷고 있었다. 브로엄 다리(Brougham Bridge, 현재는 브룸 다리 Broom Bridge)를 걷고 있을 때, 나누기에 관한 해답이 그의 뇌리를 스쳤다. 그는 3개의 요소(Triples)를 나누지는 못하지만, 4개의 요소(quadruples)를 나눌 수 있다는 걸 생각했다. 4개의 요소 중, 3요소를 이용해 3차원 공간의 정점을 표현 할 수 있다. 해밀턴은 3차원 공간상의 정점에 대한 그의 새로운 수체계를 표현할 수 있었다. 그는 이 수체계의 기본 규칙을 다리에 새겨놓았다.

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \;

해밀턴은 위의 기본적인 규칙을 적용한 4개의 요소를 "사원수"라고 명명했다. 그 후 그는 사원수를 연구하고 알리는데 그의 남은 여생을 바쳤다. 그는 "사원수론자"(Quaternionists)라는 학파를 창시하고, 몇권의 책을 출판하여 사원수를 퍼트렸다. 그의 마지막 책인 사원수 원론(Elements of Quaternions)는 800여 페이지로 구성되어 있고, 해밀턴 사망 직후에 출판되었다.

해밀턴 사후[편집]

해밀턴의 죽음 이후, 그의 제자인 피터 거스리 테이트는 사원수의 연구를 계속하였다. 당시 더블린에서는 사원수가 의무적인 시험의 하나였다. 현재는 공간 운동학, 맥스월 방정식 등의 벡터를 이용하여 설명하는 물리와 기하학의 논제들은 그 당시에는 모두 사원수를 이용하여 설명되었다. 또한 사원수에 관한 전문적인 연구학회인 "The Quaternion Society"도 존재하였다.

1880년대 중반부터 조사이어 윌러드 기브스올리버 헤비사이드가 제안한 벡터 해석학이 사원수 표현을 대신하기 시작했다. 벡터는 사원수와 같은 현상을 설명하였기 때문에, 고전 사원수 연구에서 많은 아이디어와 용어 등을 빌려왔다. 그러나 벡터 해석이 보다 간결한 개념과 표기법을 가지고 있었기에 사원수는 수학과 물리에서 비주류가 되었다. 이는 해밀턴의 사원수가 이해하기 난해하고, 표기가 친숙하지 않았으며, 그의 저작물에 길고 불분명한 표현이 많았기 때문이다.

그러나 사원수는 20세기 말에 공간상에서의 회전에 관한 사원수의 유용성에 의해서 다시 주목받기 시작했다. 사원수를 이용한 회전의 표현은 행렬을 사용하는 표현에 비해 더욱 간결했고 계산이 빨랐다. 이런 이유로, 사원수는 컴퓨터 그래픽, 제어이론, 신호처리, 자세제어(attitue control), 물리학, 생물정보학, 분자동역학, 컴퓨터 시뮬레이션, 궤도역학(orbital mechanics)등에 사용되고 있다.

정의[편집]

사원수의 집합 H 는 기본적으로 실수로 구성된 4차원 벡터공간 R4 와 같은 구조를 가지고 있다. 덧셈과 스칼라곱은 R4 와 같은 구조로 되어 있으며 여기에 사원수 곱셈을 추가하여 만든 집합이 사원수의 집합이다. 사원수는 보통 항등원 1 과 세개의 허수단위 i, j, k생성하며 이들 사이의 곱은 다음으로 정의한다.

 i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \;

위와 벡터공간의 공리를 사용하면 임의의 사원수간의 곱을 잘 정의할 수 있다. 기저간의 곱만을 간단히 살펴보면

\begin{alignat}{2}
ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\
jk & = i, & kj & = -i, \\
ki & = j, & ik & = -j, 
\end{alignat}

이 되고, 이를 도표로 나타내면 다음과 같다.

사원수의 곱
× 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k j
j j k −1 i
k k j i −1

이로부터 사원수의 가장 큰 특징인 교환법칙이 성립하지 않는 것을 알 수 있다. 즉, 사원수 집합 H비가환환이다.

실수부와 허수부[편집]

사원수 q=w+xi+yj+zk에 대하여, wq실수부 또는 스칼라부 \operatorname{Re}(q), xi+yj+zkq허수부 또는 벡터부 \operatorname{Im}(q)라고 한다. 사원수 q=w+xi+yj+zk켤레 사원수(conjugate quaternion) \bar q는 그 허수부의 부호를 뒤집은 사원수이다. 즉

\bar q=\operatorname{Re}(q)-\operatorname{Im}(q)=w-xi-yj-zk.

사원수 q노름 또는 절대값 |q| 는

|q| = \sqrt{ q \bar{q}} = \sqrt{x^2+y^2+z^2+w^2}

이다.

벡터와의 관계[편집]

사원수의 실수부는 스칼라로, 허수부는 3차원 벡터로 간주할 수 있다. 즉, 사원수는 스칼라와 3차원 벡터의 순서쌍 q=(w,\mathbf v)으로 간주할 수 있다. 이 경우, 사원수의 합과 곱은 다음과 같다.

(a,\mathbf u)+(b,\mathbf v)=(a+b,\mathbf u+\mathbf v)
(a,\mathbf u)(b,\mathbf v)=(ab-\mathbf u\cdot\mathbf v,a\mathbf v+b\mathbf u+\mathbf u\times\mathbf v).

행렬 표현[편집]

사원수는 2×2 복소 행렬로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\rho\colon a+bi+cj+dk\mapsto\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}=a\sigma_0+ib\sigma_3+ic\sigma_2+id\sigma_1

여기서 \sigma_i파울리 행렬이다. 그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 사원수 p,q\in\mathbb H에 대하여,

\rho(p+q)=\rho(p)+\rho(q)
\rho(pq)=\rho(p)\rho(q)
\rho(\bar q)=\rho(q)^\dagger
\Vert q\Vert=\sqrt{q\bar q}=\sqrt{\det\rho(q)}
\operatorname{Re}q=\frac12\operatorname{tr}\rho(q)
\rho(\exp(q))=\exp(\rho(q))

마지막 식에서, 우변은 행렬 지수 함수이다.

참고 문헌[편집]

  • (영어) Altman, Simon L. (1989년 12월). Hamilton, Rodrigues, and the quaternion scandal. 《Mathematics Magazine》 62 (5): 291–308. doi:10.2307/2689481.
  • (영어) Moore, Robert C. (1986년 9월). Doubling: real, complex, quaternion, and beyond… well, maybe. 《The College Mathematics Journal》 17 (4): 342–343. doi:10.2307/2686287.
  • (영어) Schulz, William C. (1981년 9월). Vector identities from quaternions. 《The Two-Year College Mathematics Journal》 12 (4): 271–273. doi:10.2307/3027077.
  • (영어) Sobczyk, Andrew (1981년 6월). Equivalence of an identity in vector analysis to quaternion associativity, and ramifications. 《The American Mathematical Monthly》 88 (6): 441–443. doi:10.2307/2321831.
  • (영어) van der Waerden, B. L. (1976년 11월). Hamilton’s discovery of quaternions. 《Mathematics Magazine》 49 (5): 227–234. doi:10.2307/2689449.
  • (영어) Hanson, Andrew J. (2005년 12월 29일). 《Visualizing Quaternions》. Morgan Kaufmann. ISBN 9780120884001