사원수

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수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ 복소수 $\mathbb{R}(\mathrm{i})$ 허수 $\mathbb{R}$ 실수( $\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$ ) $\mathbb{I}$ 무리수 { $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3,-4/7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 Superreal 초실수 Surreal
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 $i$ 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ $π$ 파이 ≈ 3.14159 26535 ... $e$ 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb{Q}$ ) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β^* - δ - α - C₂ - M₁ - B₂ - B₄ - Λ - K - K - K - B´_L - μ - E_B - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

수학에서 사원수 (四元數, quaternion)란 아래 조건을 만족하는 3개의 허수단위 $i, j, k$ 와 4개의 실수 $x, y, z, w$ 를 이용하여 $x + y i + z j + w k$ 로 표기되는 수를 말한다. (하나의 허수단위와 두 실수로 이루어지는 복소수 $a + b i$ 와 연관성이 있다.)

사원수는 윌리엄 해밀턴 경이 발견하였으며, 따라서 해밀턴수라고도 부른다. 또한 사원수 전체를 이루는 집합은 보통 $\mathbf{H}$ , 또는 $\mathbb{H}$ 로 표기한다.

절대값이 1인 사원수를 단위사원수라고 부르며, 단위사원수를 3차원 공간상의 회전으로 생각하였을 때, 사원수의 곱은 회전합성에 해당한다. (여기서도 복소평면상의 회전과 복소수의 곱의 대응관계를 비교해 볼 수 있다.) 이 때문에 사원수는 컴퓨터 그래픽, 인공위성 자세제어 등에 이용되고 있다.

[편집] 정의

사원수 전체를 이루는 집합 $\mathbf{H}$ 에는 실수전체를 이루는 체 $\mathbf{R}$ 위의 $1, i, j, k$ 를 기저로 하는 4차원 벡터공간으로서의 구조를 더하여 다음과 같이 곱을 정의하고 있다.：

곱은 결합법칙을 만족하며, 합에 대한 분배법칙도 만족한다.
$i, j, k$ 는 각자의 제곱이 -1과 같다.

$i 2 = j 2 = k 2 = - 1$
$i j = - j i = k, j k = - k j = i, k i = - i k = j, i j k = j k i = k i j = - 1$