초켈러 다양체

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미분기하학에서, 초켈러 다양체(超Kähler多樣體, 영어: hyper-Kähler manifold)는 그 접공간사원수의 좌표를 가진 공간의 구조를 가지는 미분다양체이다.

정의[편집]

미분다양체 M 위의 초켈러 구조(hyper-Kähler structure)는 세 개의 서로 선형독립 복소 구조 J^i리만 계량 g로 이루어진다. 계량에 대하여, J^1, J^2, J^3 각각이 켈러 구조를 이루어야 한다. 이에 따라, 임의의 단위벡터 \mathbf x\in S^2\subset\mathbb R^4 xa^2+b^2+c^2=1을 만족하는 세 실수 \mathbf x(x,y,z)\in\mathbb R^3가 주어지면, x^iJ^i도 마찬가지로 복수 구조를 이룬다. 즉, 2차원 의 각 점에 복소 구조가 대응하게 된다. 초켈러 다양체는 초켈러 구조를 갖춘 미분다양체이다.

즉, 초켈러 구조는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.[1]:§2.1

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시킨다.

이들 데이터로부터 세 개의 심플렉틱 구조

\omega_{\mu\nu}^i=J^{\mu'i}_\mu g_{\mu'\nu}

를 정의할 수 있다.

성질[편집]

초켈러 다양체의 (실수) 차원은 항상 4의 배수이다. 이는 켈러 다양체의 실수 차원이 항상 2의 배수인 것과 마찬가지다.

4N차원 초켈러 다양체의 홀로노미\operatorname{USp}(4N)의 부분군이다. 이에 따라, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이자 사원수 켈러 다양체(quaternion-Kähler manifold)이다. (칼라비-야우 다양체는 홀로노미가 \operatorname{SU}(N)의 부분군인 경우고, 사원수 켈러 다양체는 홀로노미가 \operatorname{USp}(4N)\times\operatorname{USp}(4)인 경우다. \operatorname{USp}(4N)\subset\operatorname{SU}(4N)이다.)

초켈러 다양체는 8개의 초전하(4차원에서 \mathcal N=2)를 가진 초대칭 게이지 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 중력이 없을 경우, 16개의 초전하를 가진 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간은 초켈러 다양체를 이룬다.[2][1]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Antoniadis, I., B. Pioline (1997년 10월 30일). Higgs Branch, Hyper-Kähler quotient and duality in SUSY N=2 Yang–Mills theories. 《International Journal of Modern Physics A》 12 (27): 4907–4931. arXiv:hep-th/9607058. doi:10.1142/S0217751X97002620. Bibcode1997IJMPA..12.4907A. ISSN 0217-751X.
  2. (영어) Hitchin, Nigel J., A. Karlhede, U. Lindström, M. Roček (1987년 12월). Hyperkähler metrics and supersymmetry. 《Communications in Mathematical Physics》 108 (4): 535–589. doi:10.1007/BF01214418. Bibcode1987CMaPh.108..535H. MR0877637. Zbl 0612.53043. ISSN 0010-3616.