홀로노미

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구면 상의 평행수송의 결과는 경로에 의존한다. 벡터를 A → N → B로 수송하면 그냥 A → B로 수송한 것과는 다른 벡터가 나오는 것이다. 접속의 홀로노미는 이와 같이 달라지는 정도를 측정한다.

미분기하학에서 매끈한 다양체 상에 주어진 접속홀로노미(holonomy)는 곡률의 존재로부터 나타나는 기하학적 결과로, 닫힌 곡선을 따라 평행수송을 했을 때 기하학적 정보가 변형되는 정도를 측정한 것이다. 평탄한 접속의 홀로노미는 모노드로미의 일종이며, 본질적으로 대역적인(global) 개념이다. 굽은 접속의 경우 홀로노미는 자명치 않은 국소적 측면과 대역적 측면을 함께 가진다.

벡터다발의 접속의 홀로노미[편집]

매끈한 다양체 M와 그 위의 벡터다발 \pi\colon E\to M, 그 안의 접속 \nabla를 생각하자. 또한 한 점 x\in M을 통과하는, 조각마다 매끈한 폐곡선의 집합 \mathcal L_x를 생각하자. 그렇다면 각 고리 \gamma\in\mathcal L_x에 대하여, 접속은 평행수송사상 P_\gamma \colon E_x \to E_x을 정의한다. 이 사상은 가역선형사상이므로 GL(Ex)의 원소다. 따라서 점 x\in M에서의 (대역) 홀로노미 \operatorname{Hol}_x(\nabla)는 다음과 같이 정의한다.

\mbox{Hol}_x(\nabla) = \{P_\gamma \in \mbox{GL}(E_x) \mid \gamma\in\mathcal L_x\}.

여기서 \mathcal L_x 대신 축약가능한 조각마다 매끈한 고리의 집합 \mathcal L^0_x\subset\mathcal L_x를 쓰면 국소 홀로노미 \operatorname{Hol}_x^0(\nabla)를 얻는다.

\mbox{Hol}_x^0(\nabla) = \{P_\gamma \in \mbox{GL}(E_x) \mid \gamma\in\mathcal L^0_x\}.

국소 홀로노미는 따라서 대역 홀로노미의 부분군이다.

리만 다양체의 홀로노미[편집]

리만 다양체는 그 접다발레비치비타 접속을 지니므로, 이에 대한 홀로노미를 정의할 수 있다. 다른 수식어 없이 "리만 다양체의 홀로노미"라 하면 이를 지칭한다. n차원 리만 다양체의 홀로노미는 O(n)의 닫힌 리 부분군이다 (Borel & Lichnerowitz). 가향(可向) 리만 다양체의 홀로노미는 SO(n)의 부분군이다. 대체로 더 대칭적이고 규칙적일 수록 홀로노미가 작아진다.

"일반적인" 리만 다양체의 홀로노미는 프랑스의 마르셀 베르제(프랑스어: Marcel Berger)가 1955년에 분류하였고, 다음과 같다.[1][2] 여기서 "일반적"이란 것은 단일연결이고, 국소적으로 곱공간(product space)이 아니고, 국소적으로 대칭공간(symmetric space)이 아닌 다양체다.

홀로노미 차원 종류
SO(n) n 가향 다양체
U(n) 2n 켈러 다양체
SU(n) 2n 칼라비-야우 다양체
Sp(n)·Sp(1) 4n  사원수-켈러 다양체
Sp(n) 4n 초켈러 다양체(hyper-Kähler)
G2 7 (이름 없음)
Spin(7) 8 (이름 없음)

Sp(n) ⊂ SU(2n) ⊂ U(2n) ⊂ SO(4n)이므로, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이고, 모든 칼라비-야우 다양체켈러 다양체이고, 모든 켈러 다양체는 가향다양체다.

유사 리만 다양체의 경우도 비슷하게 분류할 수 있다.

홀로노미 차원
SO(p,q) (p,q)
SO(n,ℂ) (n, n)
U(p,q) (2p, 2q)
SU(p,q) (2p, 2q)
Sp(p,q)·Sp(1) (4p, 4q)
Sp(p,q) (4p, 4q)
split G₂ (4,3)
G₂(ℂ) (7,7)
Spin(4,3) (4,4)
Spin(7,ℂ) (7,7)

(국소) 대칭공간은 정의상 국소적으로 G/H의 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 G리 군, H는 특정한 성질을 지닌 부분군이다. 이 때, 국소적 홀로노미는 H다.

홀로노미와 스피너[편집]

스핀 구조를 지닌 리만 다양체는 스피너 다발과 그 안에 스핀 접속 ω를 지니므로, 스피너에 대하여 홀로노미 Hol(ω)를 정의할 수 있다. 스피너 홀로노미와 스피너는 다음과 같은 관계를 지닌다. 2n차원 스핀 다양체를 생각하자.

  • Hol(ω) ⊂ U(n)의 필요충분조건은 평행 (공변상수) 사영 순수 스피너 장 (parallel/covariantly constant projective pure spinor field)이 존재하는 것이다.
  • Hol(ω) ⊂ SU(n)의 필요충분조건은 평행 순수 스피너 장이 존재하는 것이다. (6차원 이하의 공간에서는 모든 스피너 장은 순수 스피너 장이다.)
  • 7차원에서, Hol(ω) ⊂ G₂의 필요충분조건은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.
  • 8차원에서, Hol(ω) ⊂ Spin(7)의 필요충분조건은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.

이 사실은 끈 이론에서 용이하게 쓰인다. 초끈 이론에서는 10차원의 시공을 4차원으로 축소화하면서 하나의 초대칭을 남기려 한다. 이에 따라 6차원의 내부공간에 평행 스피너 장이 존재하여야 하므로, 6차원 내부공간은 SU(3)의 부분집합인 홀로노미를 가지게 돼 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 마찬가지로 11차원에 존재하는 M-이론을 축소화하려면 7차원의 내부공간의 홀로노미가 G₂의 부분군이어야 하고, 마찬가지로 12차원의 F-이론은 Spin(7) 다양체에 축소화할 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Berger, M. (1955년). Sur les groupes d’holonomie homogène des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes. 《Bull. Soc. Math. France》 83: 225–238. Zbl 0068.36002.
  2. Joyce, Dominic. Lectures on Calabi-Yau and special Lagrangian geometry. arXiv:math/0108088.