아핀 접속

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구면 상의 아핀 접속은 아핀 접평면을 한 점의 표면에서 다른 점의 표면으로 밀어 옮기는 과정으로 이해할 수 있다.

수학미분기하학에서 아핀 접속(affine connection)은 매끈한 다양체 상에서 근처에 있는 접공간들을 '연결'해서 접벡터장을 마치 고정된 벡터공간에서 값을 갖는 다양체상의 함수인 듯이 미분할 수 있게 해주는 도구이다. 아핀 접속을 갖는 다양체를 아핀 다양체(affine manifold)라고 한다. 아핀 접속의 개념은 19세기의 기하학 및 텐서 미적분학 등에서 유래했지만, 1920년대 초가 되어서야 엘리 카르탕(카르탕 접속 이론의 일부로서)과 헤르만 바일(일반상대론의 수학적 기초를 만들어나가면서 이 개념을 사용함)이 체계적으로 개발하였다. 접속이라는 용어는 카르탕이 제안했으며, 유클리드 공간의 접공간들을 이동을 통해 일치시키는 과정에서 유래했다. 핵심 사상은, 아핀 접속을 선택함에 따라 다양체를 무한히 작은 관점에서 (미분동형의 의미에서만이 아니라) 아핀 공간으로서도 유클리드 공간처럼 볼 수 있다는 것이다.

정의[편집]

M이 매끈한 다양체이고 C(M,TM)이 M 상의 벡터장들의 공간 - 즉, 접다발 TM의 매끈한 단면들의 공간 - 이라 하자. 이때 M 상의 아핀 접속이란 이중선형사상

\begin{matrix}
C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\
(X,Y) & \mapsto & \nabla_X Y
\end{matrix}

으로서 임의의 매끈한 함수 f ∈ C(M,R)와 임의의 M 상의 벡터장 X, Y에 대해 다음의 조건

  1. \nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y, 즉, ∇는 첫 번째 변수에 대해 C(M,R)-선형이다
  2. \nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY, 즉, ∇는 두 번째 변수에 대해 라이프니츠 법칙을 만족시킨다

이 참인 경우이다.

기초적 성질[편집]

  • 위의 조건 (1)로부터 ∇XY의 점 x ∈ M에서의 값은 X의 x에서의 값에만 의존하며 M-{x}에서의 값에는 무관함을 할 수 있다. 또한 조건 (2)로부터 ∇XY의 점 x ∈ M에서의 값은 Y의 x 근방에서의 값에만 의존함을 알 수 있다.
  • 1과 ∇2가 아핀 접속일 때, ∇1XY - ∇2XY의 점 x에서의 값을 Γx(Xx,Yx)로 쓰자. 이때
Γx: TxM × TxM → TxM
는 이중선형이며 x에 매끈하게 의존한다. (즉, 이는 매끈한 다발 준동형사상이 된다.)
  • M이 Rn의 열린 부분집합일 때, M의 접다발은 자명한 다발 M×Rn이 되며, 따라서 임의의 벡터장 Y를 M에서 Rn으로의 매끈한 함수 V로 나타낼 수 있다. 이때 M에서 Rn으로의 매끈한 함수 dV(X)=∂XY에 대응되는 벡터장을 dXY로 쓰면 d는 M 상의 자연스러운 아핀 접속이 된다. 임의의 다른 아핀 접속 ∇는 d + Γ로 나타낼 수 있다. (여기에서 Γ는 접속 형식.)
  • 보다 일반적으로, 접다발의 국소적 자명화는 TM을 M의 열린 집합 U로 제한시킨 것으로부터 M×Rn로의 올 동형사상이다. 아핀 접속 ∇를 U로 제한시킨 것은 적절한 접속 형식 Γ에 대해 d + Γ로 나타낼 수 있다.