스핀 군

리 군 이론에서, 스핀 군(spin group)은 특수직교군의 두 겹 피복공간이다. 기호는 $\operatorname{Spin}(n)$ .

정의 [편집]

특수직교군 $\operatorname{SO}(n)$ 을 생각하자. 그렇다면 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군 $\operatorname{Spin}(n)$ 이 존재한다.

$1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)\to1$ .

이 리 군을 스핀 군이라고 한다.

$n>2$ 일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 전피복공간(universal cover)이다. ( $n=2$ 일 경우는 물론 $\operatorname{SO}(2)=\operatorname{U}(1)$ 이고, 그 전피복공간은 $\mathbb R$ 이다.)

$n$ 이 작을 경우, 다음과 같은 동형사상이 존재한다.

$\operatorname{Spin}(1)=\operatorname{O}(1)=\mathbb Z/2\mathbb Z$
$\operatorname{Spin}(2)=\operatorname{U}(1)=\operatorname{SO}(2)$
$\operatorname{Spin}(3)=\operatorname{Sp}(1)=\operatorname{SU}(2)$
$\operatorname{Spin}(4)=\operatorname{Sp}(1)^2$
$\operatorname{Spin}(5)=\operatorname{Sp}(2)$
$\operatorname{Spin}(6)=\operatorname{SU}(4)$