스핀 군

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리 군 이론에서, 스핀 군(spin group)은 특수직교군의 두 겹 피복공간이다. 기호는 \operatorname{Spin}(n).

정의[편집]

특수직교군 \operatorname{SO}(n)을 생각하자. 그렇다면 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군 \operatorname{Spin}(n)이 존재한다.

1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)\to1.

리 군스핀 군이라고 한다.

성질[편집]

n>2일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 전피복공간(universal cover)이다. (n=2일 경우는 물론 \operatorname{SO}(2)=\operatorname{U}(1)이고, 그 전피복공간은 \mathbb R이다.)

n이 작을 경우, 다음과 같은 동형사상이 존재한다.

  • \operatorname{Spin}(1)=\operatorname{O}(1)=\mathbb Z/2\mathbb Z
  • \operatorname{Spin}(2)=\operatorname{U}(1)=\operatorname{SO}(2)
  • \operatorname{Spin}(3)=\operatorname{Sp}(1)=\operatorname{SU}(2)
  • \operatorname{Spin}(4)=\operatorname{Sp}(1)^2
  • \operatorname{Spin}(5)=\operatorname{Sp}(2)
  • \operatorname{Spin}(6)=\operatorname{SU}(4)

같이 보기[편집]