주다발

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주다발(主-, 영어: principal bundle)은 올(fibre)이 위상군다발이다. 이 경우, 위상군의 군론적 및 위상학적 성질이 다발의 위상학적 성질이 서로 잘 맞아야 한다. 즉 밑(base)이 위상공간 X이고 올이 위상군 G인 주다발은 국소적으로 X\times G와 같으나, 전역적으로 다를 수 있다.

위상수학미분기하학에서 쓰이고, 물리학에서도 일반 상대성 이론게이지 이론을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, 필바인의 국소적 로런츠 대칭은 올이 SO(1,3)인 주다발로 나타내어진다.

정의[편집]

올이 위상군 G이고 밑이 위상공간 B주다발은 다음 성질을 만족하는, 올이 G올다발 P\twoheadrightarrow B오른쪽 작용 P\times G\to P으로 이루어진다.

  • 모든 g\in G, x\in B에 대하여 G_x\cdot g=G_x
  • G_x\times G\to G_x는 자유롭고 추이적인(transitive) 작용을 이룸

주다발 접속[편집]

밑이 매끈한 미분다양체 M이고 올이 리 군 G인 주다발 \pi\colon P\to M을 생각하자. G리 대수\mathfrak g라 하자. P접속(connection) \omega는 다음과 같은 두 성질을 만족하는, P 위의 \mathfrak g값을 가진 1차 미분형식이다.

  1. R_g가 함수 h\mapsto hg라고 하자. 그렇다면 \operatorname{Ad}(g)R_g^*\omega=\omega이다. (여기서 R_g^*당김이고, \operatorname{Ad}딸림표현이다.)
  2. G는 자연스럽게 P작용한다. 이 작용을 미분하여, 리 대수의 원소 \xi\in\mathfrak g에 대한 벡터장 X_\xi를 정의할 수 있다. 그렇다면 \omega(X_\xi)=\xi이어야 한다.

이를 이용하여 G가 작용하는 임의의 벡터다발에 대하여 평행수송(parallel transport)을 정의할 수 있다.

접속의 곡률(영어: curvature) \Omega는 다음과 같이 정의한다.

\Omega=d\omega+\frac12[\omega\wedge\omega]

여기서 [\cdot\wedge\cdot]는 리대수의 괄호와 외적을 결합한 연산으로, [\alpha\otimes x\wedge\beta\otimes y]=(\alpha\wedge\beta)\otimes[x,y]와 같이 정의한다.

틀다발[편집]

(유사) 리만 다양체 (M,g)의 경우, 계량 텐서에 의하여 접다발 TM에 자연스럽게 \operatorname{SO}(p,q)-작용이 존재하고, 이에 따라 \operatorname{SO}(p,q)-주다발을 정의할 수 있다. 이를 틀다발(영어: frame bundle)이라고 한다. (때에 따라서 SO(p,q)를 Spin(p,q)로 확장할 수 있는데, 이를 스핀 구조라 한다.

군 표현 \operatorname{SO}(p,q)\to T_xM\otimes T_x^*M으로부터 다음과 같은 선형사상을 정의할 수 있다.

\kappa\colon\mathfrak{so}(p,q)\otimes\mathcal C^\infty(M)\to\Gamma(TM\otimes T^*M)

이에 따라, 틀다발의 접속 \omega로부터 접다발의 접속 \nabla\colon\Gamma(TM)\to\Gamma(TM\otimes T^*M)을 다음과 같이 정의할 수 있다.

\kappa(\omega(X))=\nabla X

이와 같이 정의한 접다발의 접속의 리만 곡률은 틀다발의 접속의 곡률과 같은 정보를 담고 있다. (이 둘 사이는 \kappa 등으로 바꿀 수 있다.)

(유사) 리만 다양체의 접다발에는 이미 또하나의 접속 (레비치비타 접속)이 정의되어 있다. 따라서 레비치비타 접속으로부터 그 틀다발에 접속을 정의할 수 있는데, 이를 스핀 접속(영어: spin connection)이라고 한다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]