필바인

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필바인(독일어: Vielbein) 또는 테트라드(영어: tetrad)는 물리학에서 카르탕 접속을 응용하여 중력을 다루는 수식체계다. 국소적으로 평탄한 민코프스키 공간("틀")을 도입하여, 일반적인 장은 이 평탄한 공간 위에 정의한다. 필바인은 중력장을 나타내며, 국소적 평탄한 공간과 굽은 공간 사이를 변환하여 주는 역할을 한다. 국소적 민코프스키 공간을 도입하였으므로, 스피너 등을 자연스럽게 도입할 수 있다. 일반상대론, 아인슈타인-카르탕 이론, 초중력 등에서 쓰인다.

어원 및 명칭[편집]

"필바인"은 독일어로 "여러 다리"라는 뜻이다. 필바인은 4차원에서는 피어바인 (독일어: Vierbein), 5차원에서는 퓐프바인(독일어: Fünfbein), 11차원에서는 엘프바인(독일어: Elfbein) 등으로 부르는데, 이는 "네 다리", "다섯 다리", "열한 다리" 등을 뜻한다. 대신 그리스어식으로 "테트라드", "펜타드", "헨데카드" 등으로 부르기도 한다. 다른 차원의 경우, 다음 표와 같다.

차원 독일어명 그리스어명
1 Einbein 아인바인[*] monad 모나드[*]
2 Zweibein 츠바이바인[*] dyad 다이아드[*]
3 Dreibein 드라이바인[*] triad 트라이아드[*]
4 Vierbein 피어바인[*] tetrad 테트라드[*]
5 Fünfbein 퓐프바인[*] pentad 펜타드[*]
6 Sechsbein 젝스바인[*] hexad 헥사드[*]
7 Siebenbein 지벤바인[*] heptad 헵타드[*]
8 Achtbein 아흐트바인[*] octad 옥타드[*]
9 Neunbein 노인바인[*] ennead 에네아드[*]
10 Zehnbein 첸바인[*] decad 데카드[*]
11 Elfbein 엘프바인[*] hendecad 헨데카드[*]
12 Zwölfbein 츠뵐프바인[*] dodecad 도데카드[*]
n Vielbein 필바인[*] polyad 폴리아드[*]

도입 목적[편집]

필바인을 도임하면, 물질장을 굽은 공간(접다발)이 아닌, 국소적인 평평한 공간 (틀다발)으로서 쓸 수 있게 돼, 그 대칭군을 형식적으로 (국소적 로런츠 변환을 포함해) 확장하여, 반정수 표현을 도입할 수 있다. 이는 양자장론의 스핀 ½의 페르미온을 도입하는 데 필수적이고, 또 초중력에서 필요한 스핀 1½의 그래비티노를 도입하는 데도 필수적이다. 다. 또한 필바인은 일반상대론게이지 이론으로서 나타낼 수 있게 하며, 또 아인슈타인-카르탕 이론으로 자연스럽게 확장이 가능하다.

수학적 전개[편집]

시공과 필바인[편집]

n차원의 미분다양체 M을 생각하자. 여기에, SO(p,q)의 주다발(principal bundle) B를 놓자 (p+q=n). B틀다발(frame bundle)이라고 부른다. 또한, 여기에 n차원 벡터다발 V를 놓고, 이를 B기본표현(fundamental representation)으로 한다.

V에 SO(p,q) 불변인 퇴화되지 않은 겹선형형식 \eta를 가정하고, 또 e\colon TM\to V와 같은 가역선형사상 e가 있다고 하자 (TM접다발). 물리적으로, \eta민코프스키 계량텐서에 해당하고, e는 필바인으로서 중력장을 나타낸다.

지수를 넣어 쓰자면, 필바인 e^a_\mu은 민코프스키 (V) 지수 a와 접다발 지수 \mu를 지니고, \eta_{ab}는 민코프스키 지수 a,b를 지닌다. 이에 따라, 일반상대론의 리만 다양체 계량텐서 g_{\mu\nu}는 다음과 같이 정의할 수 있다.

g_{\mu\nu}=e^a_\mu e^a_\nu\eta_{ab}

필바인은 가역사상이라고 가정하였으므로, 그 역사상 E\colon V\to  TM도 존재한다. 지수로 쓰면 E_\mu^a와 같다.

스핀 접속[편집]

V 안에서 다음 조건을 만족하는 유일한 비틀림없는 접속 A가 존재함을 증명할 수 있다.

  • 임의의 V의 미분가능 단면 a,b가 주어졌을 때, dη(a,b) = η(dAa,b) + η(a,dAb). 이 조건을 이용하여 A를 주다발 B에 대한 접속으로 연장시킬 수 있다.

이를 스핀 접속이라고 한다. (아인슈타인-카르탕 이론에서는 접속이 비틀림을 가질 수 있다.)

필바인을 이용하여 스핀 접속을 접다발 TM으로 확장할 수 있다. 즉 임의의 접다발 미분가능 단면 X에 대해 다음과 같이 정의한다.

e(∇X) = dAe(X) for all differentiable sections X of TM.

필바인은 평행이동의 게이지장이고, 스핀 접속은 로런츠 변환의 게이지장이다.

곡률[편집]

스핀 접속은 게이지장 (게이지 주다발의 단면)으로 볼 수 있으므로, 이에 따른 곡률 (패러데이 텐서) R 를 정의할 수 있다. 즉

\bold{R}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  d\bold{A}+\bold{A}\wedge\bold{A}

이는 리만 곡률과 같다. 지수로 쓰면 다음과 같다.

R_{\mu\nu}^{ab}=2\partial_{[\mu}\omega_{\nu]}^{ab}+\omega_\mu^{ac}{\omega_{\nu c}}^{b}-\omega_\nu^{ac}\omega_{\nu c}^b

리만 곡률로부터, 일반상대론에서 쓰이는 리치 곡률리치 스칼라를 정의할 수 있다. 즉 리치 곡률은

{R_\mu}^a=E^\nu_b{R_{\mu\nu}}^{ab}

리치 스칼라는

R=E^\mu_a{R_\mu}^a=E^\mu_aE_\nu^b{R_{\mu\nu}}^{ab}

일반상대론힐베르트 작용은 단순히 리치 스칼라에 비례한다.

S=-\int d^4x\;e\frac1{2\kappa}R

여기서 \kappa=8\pi G다. e=\det e^a_\mu는 필바인의 행렬식으로서, 스칼라를 텐서 밀도로 만드는, 일종의 야코비안이다. 힐베르트 작용에 변분법을 적용하여 아인슈타인 방정식을 유도할 수 있다.

역사[편집]

알베르트 아인슈타인이 1928년에 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Yepez, Jeffrey (2008년 1월 20일). Einstein's vierbein field theory of curved space. arXiv:1106.2037. Bibcode2011arXiv1106.2037Y.