밀도 다발

미분기하학에서 밀도 다발(密度-, 영어: density bundle)은 적분을 정의할 수 있는 단면들을 갖는 선다발이다.

정의

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 및 양의 실수 $s\in \mathbb {R} ^{+}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 일반선형군 $\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )$는 다음과 같은 자명한 1차원 표현을 갖는다.

$\rho \colon \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{+}$

$\rho \colon A\mapsto |\det A|^{-s}$

여기서 우변은 양의 실수의 곱셈군 $(\mathbb {R} ^{+},\cdot )$의 원소이다.

그렇다면 이 표현에 대한 연관 다발을 정의할 수 있다. 이를 $s$-밀도 다발(영어: $s$-density bundle)이라고 하며, $|\Lambda |^{s}(TM)$이라고 쓴다. 만약 $s=1$일 경우, 밀도 다발이라고 한다. $s$-밀도 다발의 단면을 $s$-밀도라고 한다.^{:468–470, §XVI.4}

텐서 다발과 밀도 다발의 텐서곱을 텐서 밀도 다발(영어: tensor density bundle)이라고 하고, 그 단면을 텐서 밀도(영어: tensor density)라고 한다.

미분 형식과의 관계

유향 다양체 $M$의 경우, 밀도 다발은 최고차 미분 형식들의 다발 $\Omega ^{n}M$과 표준적으로 동형이다. (이 동형은 다양체의 방향에 의존한다.) 즉, 이 경우 밀도는 최고차 미분 형식과 같은 개념이다. 그러나 가향 다양체가 아닌 경우 이러한 동형은 존재하지 않는다.

리만 다양체의 밀도 다발

리만 다양체 $(M,g)$는 표준적인 밀도를 가지며, 이를 부피 밀도(영어: volume density)라고 한다. 국소적으로, 이는 부피 형식의 절댓값과 같다.

연산

$s_{1}$-밀도와 $s_{2}$-밀도는 곱할 수 있으며, $s_{1}+s_{2}$-밀도를 얻는다. 어느 곳에서나 0이 아닌 $s$-밀도는 역수를 취할 수 있으며, 이는 $-s$-밀도이다.

두 $s$-밀도는 더할 수 있으며, $s$-밀도를 얻는다.

적분

다양체 위의 1-밀도는 (적절한 수렴 조건이 충족된다면) 적분을 취할 수 있다. 매끄러운 다양체 $M$의 국소 좌표계 $(U_{\alpha },\phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n})$에서, 밀도 $f$의 적분은 다음과 같다.

$\int _{U_{\alpha }}f=\int _{\phi _{\alpha }(U_{\alpha })}t_{\alpha }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}d\mu$

여기서 $\mu$는 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 위의 르베그 측도이다. 두 국소 좌표계의 교집합 $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$에서, 밀도의 적분은 사용한 국소 좌표계에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다. 그렇다면 $M$ 전체에서의 적분은 가법적(加法的)으로 정의할 수 있다.

응용

등각기하학에서, 등각 계량은 2차 텐서 밀도를 이룬다.

같이 보기

• “Tensor density”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Tensor density”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pseudotensor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Density”. 《nLab》 (영어).