부피 형식

수학에서 부피 형식(영어: Volume form) 또는 최고차 형식(영어: top-dimensional form)은 미분 다양체 차원과 동일한 차수를 가진 미분 형식이다. 따라서 $n$차원 다양체 $M$에서 부피 형식은 제 $n$미분 형식이다. 선다발 $\textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)$의 단면 공간 $\Omega ^{n}(M)$의 원소이다. 다양체는 방향을 잡을 수 있는 경우에만 사라지지 않는 부피 형식을 허용한다. 유향 다양체는 무한히 많은 부피 형식을 가진다. 왜냐하면 부피 형식을 여기서에도 모든 곳에서 영이 되지 않는 실수 값 함수로 곱하면 또 다른 부피 형식이 생성되기 때문이다. 방향이 지정되지 않는 다양체에서는 대신 밀도라는 약한 개념을 정의할 수 있다.

부피 형식은 미분 다양체에서 함수의 적분을 정의 할 수 있게 한다. 다른 말로, 부피 형식은 함수가 적절한 르베그 적분에 의해 적분될 수 있는 것과 관련하여 측도를 제공한다. 부피 형식의 절대값은 부피 요소 로 꼬인 부피 형식 또는 준 부피 형식이라고도 다양하게 알려져 있다. 또한 측도를 정의하지만 방향 지정 가능 여부에 관계없이 미분 가능 다양체에 존재한다.

리만 기하학에서 부피 형식은 유향 준 리만 다양체에 대하여 정의되는 특별한 최고 차수 실수 미분 형식이다. 이를 적분하여, 다양체의 구역의 부피를 정의할 수 있다.

복소 다양체인 켈러 다양체는 자연적으로 방향이 지정되어 있으므로 부피 형식을 가진다. 보다 일반적으로, 심플렉틱 다양체에서 심플렉틱 형식의 $n$외승은 부피 형식이다. 많은 다양체 종류들에는 정규 부피 형식이 있다: 선호하는 부피 형식을 선택할 수 있는 추가 구조가 있다. 유향 준-리만 다양체는 연관된 표준 부피 형식을 가진다.

방향

다음은 미분 다양체의 방향에 관한 것이다(위상 다양체에서 정의된 보다 일반적인 개념임).

다양체는 모든 추이 함수에 양의 야코비 행렬식을 갖는 아틀라스가 있는 경우 유향이다. 이러한 극대 아틀라스의 선택은 $M$에서 방향을 결정한다. $M$ 위의 부피 형식 $\omega$은 $M$의 아틀라스처럼 자연스러운 방식으로 $\omega$를 유클리드 부피 형식 $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$의 양의 배수로 보내는 방향을 제시한다.

부피 형식은 또한 $M$에서 선호하는 틀의 지정을 허용한다. 접벡터의 기저 $(X_{1},\ldots ,X_{n})$가 만약

$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=1.$

(1)

이면 오른손잡이라고 한다. 양의 행렬식을 가진 $n$차원 일반 선형 사상군 $\mathrm {GL} ^{+}(n)$이 모든 오른손잡이 틀의 모임에 작용한다. 이는 $M$의 선형 틀 다발의 $\mathrm {GL} ^{+}(n)$-부분 주다발을 형성하고, 따라서 부피 형식와 관련된 방향은 $M$의 틀 다발을 구조 군 $\mathrm {GL} ^{+}(n)$이 있는 부분 다발로 표준 축소를 제공한다. 즉, 부피 형식이 $M$의 $\mathrm {GL} ^{+}(n)$-구조에 발생한다. 틀을 고려하면 더 많은 축소가 가능하다.

$$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.$$

따라서 부피 형식은 $\mathrm {SL} (n)$ -구조를 발생시킨다. 반대로 주어진 $\mathrm {SL} (n)$-구조에 대해, 특수 선형 틀이 (1)을 만족하도록 하고, 필요한 $n$-형식 $\omega$이 동차성을 가져야함을 통해 풀면 부피 형식을 복원 할 수 있다.

다양체는 여기서에도 모든 곳에서 영이 아닌 부피 형식이 있는 경우에만 방향을 지정할 수 있다. 물론, $\mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+}$이므로 $\mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)$는 변형 수축이다. 여기서 양의 실수는 스칼라 행렬로 포함된다. 따라서, 모든 $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ 구조는 $\mathrm {SL} (n)$ 구조로 축약가능하며, $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ 구조는 $M$에 주어진 방향과 일치한다. 보다 구체적으로, 행렬식 다발 $\Omega ^{n}(M)$의 자명함 은 다양체의 가향성과 동일하며 선다발은 모든 곳에서 영이 아닌 단면이 있는 경우에만 자명하다. 따라서 부피 형식의 존재는 가향성과 동일하다.

측도와의 관계

유향 다양체에 주어진 부피 형식 $\omega$에 대해, 밀도 $|\omega |$는 방향을 잊어버리고 얻은 무방향 다양체의 준 부피 형식이다. 밀도는 비방향성 다양체에서 더 일반적으로 정의될 수도 있다.

모든 준 부피 형식 $\omega$(따라서 모든 부피 형식)은 보렐 집합에 대한 측도를 다음과 같이 정의한다.

$$\mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .$$

차이점은 측도값이 (Borel) 부분 집합에 대해 적분될 수 있는 반면 부피 양식은 방향이 있는 상자에 대해서만 적분 될 수 있다는 것이다. 일변수 미적분에서 ${\textstyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$임은 $dx$를 단순한 측도가 아닌 부피 형식으로 본다는 뜻이다, 그리고 ${\textstyle \int _{b}^{a}}$는 "상자 $[a,b]$ 전체에서 반대 방향으로 적분"을 나타낸다."

또한 일반적인 측도는 연속적이거나 매끄러울 필요가 없다. 부피 형식으로 정의할 필요가 없으며 더 구체적으로, 주어진 부피 형식에 대한 라돈-니코딤 도함수가 절대 연속일 필요는 없다.

발산

$M$에 주어진 부피 형식 $\omega$에 대해 벡터장 $X$의 발산을 $\operatorname {div} X$로 표시되는 유일한 스칼라 값 함수로 정의할 수 있다.

$$(\operatorname {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\mathbin {\!\rfloor } \omega ),$$

여기서 $L_{X}$는 $X$를 따른 리 미분을 나타낸다. 그리고 $X\mathbin {\!\rfloor } \omega$는 내부곱 또는 $X$을 따른 $\omega$의 왼쪽 수축을 나타낸다. 만약에 $X$가 콤팩트 지지 벡터장이며 $M$는 경계가 있는 다양체이면 스토크스의 정리는 다음을 의미한다.

$$\int _{M}(\operatorname {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\mathbin {\!\rfloor } \omega ,$$

이는 발산 정리의 일반화이다.

솔레노이드 벡터장은 $\operatorname {div} X=0$이 성립하는 벡터장이다. 리 미분의 정의에 따르면 솔레노이드 벡터장의 흐름에서 부피 형식이 보존된다. 따라서 솔레노이드 벡터장은 정확히 부피 보존 흐름을 갖는 것이다. 이 사실은 예를 들어 속도장의 발산이 유체의 압축성을 측도하는 유체역학에서 잘 알려져 있으며, 이는 다시 유체의 흐름을 따라 부피가 보존되는 정도를 나타낸다.

주요 예제들

리 군

모든 리 군에 대해 자연스러운 부피 형식은 병진 변환에 의해 정의될 수 있다. 즉, 만약 $\omega _{e}$가 ${\textstyle \bigwedge }^{n}T_{e}^{*}G,$의 원소이면, 왼쪽 불변 형식은 $\omega _{g}=L_{g^{-1}}^{*}\omega _{e},$과 같이 정의될 수 있다. 여기서 $L_{g}$는 왼쪽 병진 변환이다. 결과적으로 모든 리 군에 방향을 지정할 수 있다. 이 부피 형식은 스칼라곱을 기준으로 유일하며 해당 측도를 하르 측도라고 한다.

심플렉틱 다양체

모든 심플렉틱 다양체(또는 버금 심플렉틱 다양체)에는 자연스러운 부피 형식이 있다. 만약에 $M$이 심플렉틱 형식 $\omega$이 주어진 $2n$ 차원 의 차원 다양체이면, $\omega ^{n}$는 심플렉틱 형식의 비퇴화성의 결과로 모든곳에서 0이 아니다. 결과적으로 모든 심플렉틱 다양체는 방향을 지정할 수 있다(실제로, 방향이 지정되어 있다). 다양체가 심플렉틱이면서 리만인 경우 다양체가 켈러이면 두 부피 형식이 일치한다.

리만 부피 형식

임의의 유향 준-리만(리만을 포함) 다양체는 자연스러운 부피 형식을 가지고 있다. 국소 좌표계에서, 이는

$$\omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}$$

로 표현될 수 있다. 여기서 $dx^{i}$는 다양체의 여접다발에 대해 양의 방향 기저를 형성하는 제 1미분형식이다. 여기서, $|g|$는 다양체에서 계량 텐서의 행렬 표현의 행렬식의 절대값이다. 부피 형식은 다음과 같이 다양하게 표시된다.

$$\omega =\mathrm {vol} _{n}=\varepsilon ={\star }(1).$$

여기서, ${\star }$는 호지 별이므로 마지막 형식 ${\star }(1)$은 부피 형식이 레비-치비타 텐서 $\varepsilon$와 동일한 다양체의 상수 사상의 호지 쌍대임을 강조한다.

그리스 문자 $\omega$는 부피 형식을 나타내는 데 자주 사용되지만 이 표기법은 완전히 보편적이지는 않다. 기호 $\omega$는 종종 미분 기하학에서 많은 다른 의미(예: 심플렉틱 형식)를 뜻한다.

부피 형식의 불변량

부피 형식은 유일하지 않다. 그것들은 다음과 같이 다양체에서 모든 곳에서 영이 아닌 함수 위에 꼬임을 형성한다: $M$에 부피 형식 $\omega$과 모든 곳에서 영이 아닌 함수 $f$가 주어지면, $f\omega$는 $M$의 부피 형식이다. 반대로 두 가지 부피 형식 $\omega ,\omega '$이 주어지면 이들이 비는 모든 곳에서 영이 아닌 함수이다(동일한 방향을 정의하면 양수, 반대 방향을 정의하면 음수).

좌표에서 둘 다 단순히 모든 곳에서 영이 아닌 함수 곱하기 르베그 측도이며 비는 좌표 선택과 무관한 함수의 비이다. 내재적으로 이것은 $\omega$에 대한 $\omega '$의 라돈-니코딤 도함수이다. 유향 다양체에서 두 부피 형식의 비는 라돈-니코딤 정리의 기하학적 형태로 생각할 수 있다.

국소 구조의 부재

다양체의 부피 형식은 작은 열린 집합에서 주어진 부피 형식와 유클리드 공간의 부피 형식을 구별하는 것이 불가능하다는 점에서 국소 구조가 없다 (Kobayashi 1972). 즉, 모든 점 $p\in M$에 대해 $p$의 열린 이웃 $U$과 $U$에서 부피 형식이 $\varphi$를 따라 $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$를 당긴 것이 되는 $U$에서 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 집합으로 가는 미분동형사상 $\varphi$가 존재한다.

결과적으로, 만약 $M$, $N$이 각각 부피 형식 $\omega _{M},\omega _{N}$을 갖는 두 가지 다양체이면, 모든 점 $m\in M,n\in N$에 대해 $m$의 열린 이웃 $U$과 $n$의 열린 이웃 $V$, 그리고 $V$에 제한된 $N$ 위의 부피 형식이 $U$에 제한된 $M$의 부피 형식으로 당겨지는(즉, $f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}$) 함수$f:U\to V$가 있다.

1차원에서 다음과 같이 증명할 수 있다. $\mathbb {R}$에 주어진 부피 형식 $\omega$에 대해

$$f(x):=\int _{0}^{x}\omega .$$

로 정의 하자. 그러면 표준 르베그 측도 $dx$는 $\omega$로 당겨진다. 즉, $f$ : $\omega =f^{*}dx$. 구체적으로, $\omega =f'\,dx$. 더 높은 차원에서, 어떤 점 $m\in M$이 주어졌을 때, 그것은 국소적으로 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}$과 위상동형인 이웃을 가지고 있고, 동일한 절차를 적용할 수 있다.

대역 구조: 부피

연결 다양체 $M$의 부피 형식은 단일 전역 불변량, 즉 (전체) 부피 $\mu (M)$를 가진다. 이는 부피 형식 보존 사상에 대해 불변이다. 이것은 $\mathbb {R} ^{n}$에서 르베그 측도과 같이 무한대 일 수 있다. 연결이 아닌 다양체에서 각 연결 성분의 부피는 불변량이다.

만약 $f:M\to N$가 $\omega _{N}$를 $\omega _{M}$로 당기는 위상 동형이면,

$$\mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)\,$$

이고 두 다양체는 동일한 부피를 가진다.

피복 사상으로 부피 형식을 다시 가져올 수도 있다. 이 경우 부피에 올의 기수를 곱한다(공식적으로는 올를 따라 적분하여). 무한 덮개의 경우(예: $\mathbb {R} \to S^{1}$), 유한 부피 다양체의 부피 형식은 무한 부피 다양체의 부피 형식으로 당겨진다.

준 리만 다양체에서 정의

$n=p+q$차원 유향 준 리만 다양체 $(M,g)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 부피 형식은 다음과 같은 $n$차 실수 미분 형식

$\omega \in \Omega ^{n}(M;\mathbb {R} )$

이다.

$\omega ={\sqrt {(-)^{q}\det g}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{n}$

여기서

• $(x_{1},\dotsc ,x_{n})$은 $M$의 (홀로노믹) 국소 좌표계이며, 그 방향은 양의 방향이다.
• $\det g$는 다음과 같은, 리만 계량의 성분으로 구성된 $n\times n$ 대칭 행렬의 행렬식이다.

  ${\begin{pmatrix}g_{11}&\dotsm &g_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\g_{n1}&\dotsm &g_{nn}\end{pmatrix}}$

$\det g$는 만약 $q$가 짝수라면 양수이며, $q$가 홀수라면 음수이다. 즉,

$(-)^{q}\det g=\left|\det g\right|$

이다.

성질

부피 형식은 준 리만 다양체의 방향에 의존한다. 만약 방향을 뒤집는다면, 부피 형식은

$\omega \mapsto -\omega$

로 변환한다. 비가향 다양체의 경우, 부피 형식을 정의할 수 없다(다만, 부피의 개념 자체는 밀도의 개념을 사용하여 정의될 수 있다).

같이 보기

• 원통좌표계의 부피 형식
• 측도
• 푸앵카레 측도는 복소 평면에서 부피 형식을 준다
• 구면좌표계의 부피 형식

참고 문헌

• Kobayashi, S. (1972), 《Transformation Groups in Differential Geometry》, Classics in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC 31374337 .
• Spivak, Michael (1965), 《Calculus on Manifolds》, Reading, Massachusetts: W.A. Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9 .

외부 링크

• “Volume form”. 《nLab》 (영어).