라돈-니코딤 정리

라돈-니코딤 정리(Radon-Nikodym theorem)는 어떤 가측공간에 대한 시그마-유한측도($\sigma$-finite measure)가 존재하고 이 유한측도에 대해 연속인 또다른 시그마-유한측도가 동일한 공간에 존재할 경우 이 둘의 관계를 나타내는 가측함수가 존재한다는 정리이다. 즉, 가측공간 $(X,\Sigma)$에 대한 시그마 유한측도 $\nu$가 또다른 시그마 유한측도 $\mu$에 대해 연속일 경우 0 또는 양의 값을 갖는 $X$에 대한 가측함수 $f$가 존재하며 다음 식이 성립한다.

$\nu(A) = \int_A f \, d\mu$

이 가측함수 $f$를 라돈-니코딤 도함수(Radon-Nikodym derivative)라고 하며, $\frac{d \nu}{d \mu}$로 표기한다. 이 정리는 1913년에 $n$차 실수공간 $R^{n}$의 경우에 라돈(Radon, J.)이 증명하였으며, 1930년에 일반적인 가측공간에 대한 증명을 니코딤(Nikodym, O)이 증명하였다.

라돈-니코딤 도함수

위 식을 만족하는 함수 $f$는 $\mu$-공집합에 대해서까지 정의 가능한 단일한(unique) 함수이며, 따라서 만약 $f$와 동일한 성질을 같는 또다른 함수 $g$가 존재할 경우 측도 $\mu$ 하에서 거의 확실하게 $f=g$이다. $f$를 $d\nu/d\mu$로 표기하는 경우도 많은데, 이는 $f$가 일반미적분의 도함수와 유사한 성질을 가지며 한 측도 하에서 나타나는 확률밀도가 다른 측도로 넘어갈 때 갖는 변화율을 의미한다는 것을 암시한다.

쓰임새

라돈-니코딤 정리는 확률론에서 단일한 공간에 대해 정의된 여러 개의 확률측도를 연결할 때 매우 중요하게 쓰인다. 가령, 라돈-니코딤 정리는 조건부 기대값의 존재성을 증명한다.

금융공학에서는 기르사노브의 정리를 통해 실제측도에서 위험중립측도를 도출해내는 데에 라돈-니코딩 정리가 쓰이기도 한다. 파생상품의 경우 대부분 위험중립측도가 존재해야만 적정가격을 구할 수 있기 때문에 위험중립측도가 파생상품 가격결정에서 차지하는 중요성은 상당하다.

특성

• 측도 $\mu$와 $\nu$가 또다른 측도 $\lambda$에 대해 연속일 경우 다음이 성립한다.

  $\frac{d(\nu+\mu)}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\lambda}+\frac{d\mu}{d\lambda}\quad\lambda\text{-a.e.}$

• $\nu$가 $\mu$에 대해 연속이고 $\nu$가 $\lambda$에 대해 연속일 경우 다음이 성립한다.

  $\frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}\quad\lambda\text{-a.e.}$

• $\nu$가 $\mu$가 서로에 대해 연속일 경우 다음이 성립한다.

  $\frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}\quad\nu\text{-a.e.}$

• $\mu$가 $\lambda$에 대해 연속이고 함수 $g$가 $\mu$에 대해 적분가능할 경우 다음이 성립한다.

  $\int_X g\,d\mu = \int_X g\frac{d\mu}{d\lambda}\,d\lambda$

• $\nu$가 유한한 부호측도(signed measure) 또는 유한한 복소측도(complex measure)일 경우 다음이 성립한다.

  ${d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|$

참고문헌

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.