기르사노프 정리

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기르사노프 정리(Girsanov theorem)는 측도의 변화에 따라 확률과정이 어떤 식으로 변하는지에 대해 설명하는 정리이다. 이 정리는 금융공학 분야에서 실제측도(physical measure)로부터 위험중립측도(risk-neutral measure)를 도출해내는 데 사용되며, 이렇게 도출한 위험중립측도파생상품의 가치를 계산하는 과정에서 매우 유용하게 쓰인다. 위험중립측도를 활용한 가격결정방법 중 대부분은 자산가격이 위너과정을 따른다고 가정하기 때문에, 확률과정이 위너과정이라는 특수한 경우에 대해서만 이 정리를 증명하더라도 실제로 활용하는 데 큰 문제가 없다.

내용[편집]

확률공간 (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})위너과정을 따르는 확률변수 W_{t}, 그리고 여과 \mathcal{F}_{t}^{W}에 순응하는 측도가능한 함수 X_{t}가 있다고 가정하자. 만약 X_{0}=0일 경우 다음이 성립한다.

Z_t=\mathcal{E} (X)_t\,

여기서 \mathcal{E}(X)XW에 대한 돌레앙 지수(Doléans exponential)이며 다음과 같이 정의한다.

\mathcal{E}(X)_t=\exp \left ( X_t - \frac{1}{2} [X]_t \right )

여기서 [X]X이차변동성을 나타낸다.

따라서 Z_t는 항상 양의 값을 갖는 국소 마팅게일(local martingale)이며, 확률공간 (\Omega,\mathcal{F})에 대해 다음과 같은 라돈-니코딤 도함수를 갖는 새로운 확률측도 \mathbb{Q}를 정의할 수 있다.

\frac{d \mathbb{Q}}{d \mathbb{P}} |_{\mathcal{F}_t} = Z_t = \mathcal{E} (X )_t

이 경우 만약 어떤 확률과정 Y_t가 확률측도 \mathbb{P} 하에서 마팅게일이라면 아래와 같이 정의된 확률과정 \tilde{Y}_t여과확률공간 (\Omega,\mathcal{F},\mathcal{F}_{t},\mathbb{Q})국소 마팅게일이다.

\tilde Y_t = Y_t - \left[ Y,X \right]_t

참고문헌[편집]

  • Dellacherie, C. and P.-A. Meyer, 1980, "Probabilités et potentiel -- Théorie de Martingales" Chapitre VII, Hermann
  • Girsanov, I. V., 1960, "On transforming a certain class of stochastic processes by absolutely continuous substitution of measures", Theory of Probability and its Applications
  • Lenglart, E., 1977, "Transformation de martingales locales par changement absolue continu de probabilités", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit, 39, 65–70