켈러 다양체

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켈러 다양체(독일어: Kählermannigfaltigkeit, 영어: Kähler manifold)는 U(n) 구조를 지니고 적절한 적분가능조건을 만족하는 n차원 미분다양체다. 여기서 적분가능조건이란 다음과 같은 서로 동등한 조건 가운데 하나다. 리만 형식을 g, 에르미트 형식을 ω, 거의 복소 구조를 J, 리만 구조에 따른 레비치비타 접속을 ∇라고 놓으면,

  • ω는 닫혀 있고 (dω=0) J는 적분가능
  • ∇J = 0
  • ∇ω = 0
  • ∇의 홀로노미군은 (J의) U(n)의 부분군

역사[편집]

독일의 수학자인 에리히 켈러가 1932년에 도입하였다.[1][2]

성질[편집]

U(n) 구조를 지닌 미분다양체는 거의 에르미트 다양체(almost Hermitian manifold)라고 불린다. U(n)은

U(n)=O(n)\cap GL(n,\mathbb C)\cap Sp(2n)

이므로, 거의 에르미트 다양체는 리만 구조 (O(n)), 복소 구조(GL(n,\mathbb C)), 거의 심플렉틱 구조 (Sp(2n))를 모두 지닌다. 거의 에르미트 구조 h는 리만 구조 g와 거의 복소 구조 i, 거의 심플렉틱 구조 \omega가 주어지면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

h=g-i\omega

즉, 아인슈타인 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

\omega=\frac12ih_{i\bar\jmath}dz^i\wedge d\bar z^{\bar\jmath}
g=\frac12h_{i\bar\jmath}(dz^i\otimes d\bar z^{\bar\jmath}+d\bar z^{\bar\jmath}\otimes dz^i)
h=h_{i\bar\jmath}dz^i\otimes d\bar z^{\bar\jmath}.

거의 복소 구조가 적분 가능한 다양체는 에르미트 다양체라고 불린다. (따라서 에르미트 다양체복소 다양체를 이룬다.) 거의 심플렉틱 구조가 적분 가능한 다양체는 심플렉틱 다양체라고 불린다. 즉 켈러 다양체는 에르미트 다양체이자 심플렉틱 다양체이다.

켈러 다양체의 심플렉틱 형식을 켈러 형식(영어: Kähler form)이라고 한다.

켈러 퍼텐셜[편집]

켈러 다양체에서는 켈러 형식

\omega=\frac12ih_{i\bar\jmath}dz^i\wedge d\bar z^{\bar\jmath}

닫혀 있다. 따라서 국소적으로 이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\omega=i(\partial_i\partial_{\bar\jmath}\rho)dz^id\wedge\bar z^{\bar\jmath}

이 경우 \rho켈러 퍼텐셜(영어: Kähler potential)이라고 한다. 일반적으로, 켈러 퍼텐셜은 국소적으로만 정의할 수 있다. 특히, 컴팩트 켈러 다양체의 경우 \omega^n부피 형식이므로 켈러 형식은 완전형식일 수 없다. 따라서 컴팩트 켈러 다양체의 켈러 퍼텐셜은 국소적으로만 존재한다.

참고 문헌[편집]

  1. Kähler, Erich (1933년 12월). Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 9 (1): 173–186. doi:10.1007/BF02940642. Zbl 0005.41301. JFM 58.0780.02. ISSN 0025-5858.
  2. (영어) O’Connor, John J.; Edmund F. Robertson (2006년 11월). Erich Kähler. 《MacTutor History of Mathematics Archive》. 세인트앤드루스 대학교.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Onishchik, A.L. (2001). Kähler manifold. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.