렙셰츠 다양체

심플렉틱 위상수학에서 렙셰츠 다양체(Лефшец多樣體, 영어: Lefschetz manifold)는 심플렉틱 형식의 고차 거듭제곱에 대한 합곱이 서로 다른 차수의 실수 계수 코호몰로지의 동형을 유도하는 심플렉틱 다양체이다. 콤팩트 켈러 다양체의 일반화이다.

정의

$2n$차원 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$이 다음 조건을 만족시킨다면, 강한 렙셰츠 다양체(強한Лефшец多樣體, 영어: strong Lefschetz manifold)라고 한다.

• 모든 $0\leq i\leq n$에 대하여, $[\omega ]^{i}\smile \colon H^{n-i}(M;\mathbb {R} )\to H^{n+i}(M;\mathbb {R} )$는 실수 벡터 공간의 동형이다.

만약 위 조건이 $i=0,1$에 대하여 성립하는 경우, 렙셰츠 다양체(Лефшец多樣體, 영어: Lefschetz manifold)라고 한다.

성질

베티 수

강한 렙셰츠 다양체의 경우, 홀수 차수 베티 수는 항상 짝수이다. 이는 푸앵카레 쌍대성 $\operatorname {PD}$를 사용하여

$H^{n-k}(M;\mathbb {R} )\times H^{n-k}(M;\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$

$(\alpha ,\beta )\mapsto \alpha \smile \operatorname {PD} ([\omega ]^{k}\smile \beta )$

를 정의하면, 이는 홀수 차수 코호몰로지에 비퇴화 반대칭 쌍선형 형식을 정의하기 때문이다.^{:6, Proof of Theorem 3.1}

또한, 강한 렙셰츠 다양체의 경우 $[\omega ]^{i}$가 벡터 공간의 동형이므로, $0\leq k\leq i$에 대하여,

$[\omega ]^{k}\smile \colon H^{n-i}\to H^{n+i-2k}$

는 단사 함수이어야 한다. 따라서, $2n$차원 렙셰츠 다양체의 짝수 차수 베티 수

$b_{0},b_{2},\dots ,b_{2k}\qquad (2k<n)$

및 홀수 차수 베티 수

$b_{1},b_{3},\dots ,b_{2k+1}\qquad (2k+1<n)$

는 각각 증가수열을 이룬다.^{:Corollary 3}

켈러 다양체와의 관계

어려운 렙셰츠 정리(프랑스어: théorème de Lefschetz vache, 영어: hard Lefschetz theorem)에 따르면, 모든 콤팩트 켈러 다양체는 강한 렙셰츠 다양체이다.

일반적으로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

켈러 다양체 ⊊ 강한 렙셰츠 다양체 ⊊ 렙셰츠 다양체 ⊊ 심플렉틱 다양체

원환면과 미분동형이 아닌 콤팩트 영다양체는 렙셰츠 다양체를 이룰 수 없다.

예

강한 렙셰츠 다양체이지만 켈러 다양체가 아닌 해다양체 및 렙셰츠 다양체이지만 강한 렙셰츠 다양체가 아닌 해다양체가 존재한다.

형식적 공간이 아닌 렙셰츠 다양체가 존재한다.

역사

솔로몬 렙셰츠는 모든 복소수 사영 대수다양체가 강한 렙셰츠 다양체임을 보였고, "렙셰츠 다양체"라는 이름은 여기서 유래하였다.

알렉산더 그로텐디크는 렙셰츠의 이 정리를 프랑스어: théorème de Lefschetz vache 테오렘 드 렙셰츠 바슈^[*]라고 불렀다. 프랑스어: vache 바슈^[*]는 사전적으로는 "암소"를 뜻하지만, 속어로 매우 비속한 뜻을 가진다. 영어에서, 이 정리의 이름은 순화된 단어인 영어: hard 하드^[*](어려운)로 번역되었다.

외부 링크

• “Lefschetz theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hard Lefschetz theorem”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 렙셰츠 초평면 정리