심플렉틱 다양체

미분기하학에서, 심플렉틱 다양체(symplectic多樣體, symplectic manifold) 또는 사교다양체(斜交多樣體)는 닫힌 비퇴화 2차 미분형식을 갖춘 미분다양체다. 여접다발의 개념을 일반화한 것으로 생각할 수 있으며, 항상 짝수 차원을 가진다.

심플렉틱 다양체는 해밀턴 역학에서 계의 위상공간으로서 등장한다. 위상공간은 배위공간의 여접다발을 일반화한 것이다.

정의

심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$는 매끈한 미분다양체 $M$와, 그 위에 정의된 닫힌 비퇴화 2차 미분형식 $\omega$으로 이루어진 순서쌍이다. 여기서 $\omega$를 심플렉틱 형식(symplectic form)이라고 한다.

심플렉틱 형식이 만족하여야 하는 조건은 구체적으로 다음과 같다.

• 반대칭성: 2차 미분형식이란 정의상 반대칭 (0,2)-텐서 $\omega(X,Y)=-\omega(Y,X)$다.
• 닫힘(closed): $d\omega=0$. 여기서 $d$는 미분형식의 외미분(exterior derivative)이다. 다시 말해, 국소적으로 $\omega=d\theta$인 1차 미분형식 $\theta$가 존재한다. 이 1차 미분형식은 간혹 심플렉틱 퍼텐셜([[en:tautological one-form|symplectic potential]])이라 불린다.
• 비퇴화성(nondegenerate): 임의의 점 $p\in M$에서, 임의의 0이 아닌 벡터 $X\in T_pM$에 대하여, $\omega(X,Y)\ne0$인 벡터 $Y\in T_pM$이 존재한다. 다시 말해, $X$가 0이 아니면 1차 미분형식 $\omega(X,\cdot)$도 0이 아니다. 따라서 $\omega$는 벡터 공간 $T_pM$과 여벡터 (1차 형식) 공간 $T_p^*M$ 사이에 동형사상을 정의한다. 이 점에서 심플렉틱 형식은 리만 다양체의 계량 텐서와 유사하다.

비퇴화 2차 미분형식은 짝수 차원에만 존재하므로, 심플렉틱 다양체는 짝수 차원을 가진다. 만약 $\omega$가 다른 조건은 만족하지만 닫혀 있지 않으면 이를 거의 심플렉틱 형식(almost symplectic form)이라고 하고, 이를 갖춘 다양체를 거의 심플렉틱 다양체(almost symplectic manifold)라고 한다.

심플렉틱 다양체의 범주는 심플렉틱 다양체를 대상으로 하고, 심플렉틱 형식을 보존하는 매끈한 함수를 사상으로 하는 범주다. 즉, 두 심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$, $(M',\omega')$ 사이의 사상이란

$f^*\omega'=\omega$

를 만족하는 매끈한 함수 $f\colon M\to M'$이다. (여기서 $f^*$는 $f$로의 당김을 뜻한다.)

심플렉틱 동형사상(symplectomorphism)은 심플렉틱 다양체의 범주에서의 동형사상이다. 즉, 두 심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$, $(M',\omega')$ 사이의 심플렉틱 동형사상 $f$는 $f^*\omega'=\omega$를 만족하는 미분동형사상 $f\colon M\to M'$이다. 심플렉틱 동형사상은 해밀턴 역학에서 정준변환이라고 불린다.

예제

• 임의의 $n$차원 매끈한 미분다양체 $M$의 여접다발 $T^*M$은 자연스러운 심플렉틱 구조를 지닌다. 여접다발 안의 임의의 점 $(x,\phi)$를 생각하자. 또한, $x\in M$ 근처에 국소좌표계 $q^i$를 잡자. 그렇다면 임의의 1차 형식 $\phi\in T_x^*M$은 $\phi=p_idq^i$의 꼴로 전개할 수 있다. 즉 $M$의 국소좌표계 $q^i$로부터 $T_xM$의 좌표계 (이는 벡터공간이므로 기저) $p_i$를 유도할 수 있다. 따라서, $(q^i,p_i)$는 여접다발 $T^*M$의 ($(x,\phi)$ 근처에서의) 국소좌표계를 이룬다. 그렇다면 심플렉틱 퍼텐셜 $\theta$를

$\theta=\sum_{i=1}^np_i dq^i$

와 같이 정의할 수 있다. 이에 따라 심플렉틱 형식 $\omega$는

$\omega=d\theta=\sum_{i=1}^ndp_i\wedge dq^i$

이고, $(T^*M,\omega)$는 $2n$차원 심플렉틱 다양체를 이룬다.

참고 문헌

• Golé, Christophe (2010년). Symplectic maps. 《Scholarpedia》 5 (3): 3722. doi:10.4249/scholarpedia.3722.
• 조용승 (2000년). 심플렉틱 다양체의 불변량. 《Communications of the Korean Mathematical Society》 15 (3): 391–434.
• Cannas da Silva, Ana (2006년). 〈Chapter 3. Symplectic geometry〉, 《Handbook of Differential Geometry (vol. 2)》. North-Holland Press, 79–188쪽. doi:10.1016/S1874-5741(06)80006-3. arXiv:math/0505366. Bibcode: 2005math......5366C. ISBN 978-0-444-52052-4
• Weinstein, Alan (1981년). Symplectic geometry. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 5 (1): 1–13. doi:10.1090/S0273-0979-1981-14911-9. MR614310. Zbl 0465.58013.

함께 보기

• 푸아송 괄호
• 심플렉틱 위상수학
• 심플렉틱 벡터공간
• 다르부의 정리 (기하학)