호모토피

2차원 공간 상에서 호모토피(구체적으로는 경로 호모토피)의 예.

호모토피(homotopy) 또는 연속변형함수(連續變形函數)는 어떤 위상공간을 공역으로 하는 특정한 연속함수이다. 직관적으로 말해서, 호모토피는 주어진 위상공간 상에서 어떤 두 점을 잇는 수많은 가능한 경로가 연속적으로 변형되는 것을 나타낸다.

정의

위상공간 X와 Y와 실수 상의 단위구간 [0, 1] = I이 주어져 있다. X에서 Y로 가는 적당한 연속함수 f와 g가 다음 성질을 만족한다면,

• 적당한 연속함수 H:X×I → Y이 주어져서 임의의 x∈X에 대해 H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x).

f는 g에 대해 호모토픽(homotopic) 또는 연속변형적(連續變形的)이라 하고, 연속함수 H는 f와 g 사이의 호모토피(a homotopy between f and g)라 한다. f가 g에 대해 호모토픽일 때 기호로 $f \simeq g$ 와 같이 쓴다. 만약 $f \simeq g$ 이고 g가 상수함수일 경우, f를 널호모토픽(null-homotopic) 또는 영연속변형적(零連續變形的)이라 하며, 이때의 호모토피를 널호모토피(null-homotopy) 또는 영연속변형함수(零連續變形函數)라 한다.

점을 고정한 호모토피

많은 경우 호모토피를 구성할 때 일부 점을 '고정'할 필요가 생긴다. 즉, X'⊆X에 대하여 호모토피의 정의에 다음 추가 조건을 만족하는 경우,

• 모든 x∈X'와 t∈I에 대하여, H(x, t) = f(x) = g(x).

f는 g에 대해 'X'의 각 점을 고정하여 호모토픽(homotopic relative to X')'이라 하고, 이 경우 H를 'X'에서 고정된 호모토피(homotopy relative to X')'라 한다. f가 g에 대해 X'의 각 점을 고정한 호모토픽일 경우 기호로는 $f \simeq g \ \mathrm{rel} X'$ 라 쓴다.

경로 호모토피

특히, 점을 고정한 호모토피의 특수한 경우로 X = I(보통위상공간의 부분공간)이고 호모토피의 정의에 다음 추가 조건을 만족할 경우,

• 적당한 x₀, x₁ ∈ Y와 임의의 t∈I에 대해 H(0, t) = x₀, H(1, t) = x₁.

f는 g에 대해 경로 호모토픽(path homotopic) 또는 경로 연속변형적(經路-)라 하고, H를 경로 호모토피(path homotopy) 또는 경로 연속변형함수(經路-)라 한다. f가 g에 대해 경로 호모토픽일 때 기호로 $f \simeq_p g$ 와 같이 쓴다.

기본 성질

• 관계 $\simeq$ 와 $\simeq_p$ 등은 항상 동치관계이다.
• 적당한 위상공간 Y에 대해 만약 $a \simeq_p a'$, $b \simeq_p b'$ 이고 a(1) = b(0)이면 $a*b \simeq_p a'*b'$이다.

축약가능공간

만일 항등함수 I_X:X→X가 널호모토픽이라면 X를 축약가능공간(contractible space)이라 한다. 단위구간 [0, 1]이나 실수 집합 등이 축약가능공간인데, 일반적으로 축약가능공간은 항상 길연결공간이며, 단일연결공간이다.

이 정의는 다음과 동치이다.

• X가 축약가능공간일 필요충분조건은 X가 한 점으로 이루어진 위상공간 {c}와 같은 호모토피 유형을 가지는 것이다.

또한 축약가능공간은 길연결공간이지만 모든 길연결공간이 축약가능인 것은 아니다. 중요한 반례로 2차원 구, S²가 있다. 그러나 2차원 구는 단일연결공간이다. 또, 2차원 구에서 한 점을 뺀 곡면은 축약가능공간이다.

호모토피류

• 위상공간 X, Y에 대해 X에서 Y로 가는 연속함수들을 모두 모은 집합이 있다고 하자. 여기서 어떤 함수 f의 호모토피류(homotopy class) [f]는 [f] := {x|$f \simeq x$}을 말한다. $\simeq$는 동치관계이므로 X에서 Y로 가는 연속함수들의 집합은 호모토피류들로 분할된다. 이 집합을 일반적으로 $[X, Y]$라 쓴다. 만약 호모토피가 X'에서 고정된 호모토피일 경우 $[X, Y]_{X'}$ 라 쓴다.
• 호모토피류의 정의와 동일한 방법으로, 경로 호모토피류(path homotopy class)를 정의할 수 있다.

호모토피 유형

위상공간 X, Y에 대해 f:X→Y, g:Y→X인 연속함수 X, Y가 있다 하자. 만약 $f \circ g \simeq I_Y$, $g \circ f \simeq I_X$ 이면, f와 g를 통틀어 호모토피 동치쌍(homotopy equivalences), 각각은 상대방에 대해 호모토피 역원(homotopy inverse)이라 한다. 또, 호모토피 동치쌍이 존재하는 경우 두 공간 X, Y는 호모토피 동치(homotopy equivalent)라 하는데, 호모토피 동치 관계는 동치관계가 된다. 호모토피 동치인 두 위상공간은 같은 호모토피 유형(homotopy type)을 갖는다고 한다.

아이소토피

커피잔과 도넛 사이의 아이소토피.

위상동형사상 f와 g 사이의 호모토피 H가 주어졌다고 하자. 다음 조건이 충족될 경우,

• 임의의 고정된 t∈[0, 1]에 대하여 함수 H_t:X→Y가 H_t(x) := H(x, t)이고, H_t가 위상동형사상이다.

H를 f와 g 사이의 아이소토피(isotopy)라 한다.

같이 보기

• 피복 호모토피 정리
• 기본군
• 호모토피군
• 정칙 호모토피
• 푸앵카레 추측
• 호미오토피

참고 문헌

• James R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000.
• 곽진호, 이재운, 《조합적 곡면위상론》, 경문사, 2007.
• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2006.