푸앵카레 추측

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푸앵카레 추측4차원 초구의 경계인 3차원 구면위상학적 특징에 관한 다음과 같은 정리이다.

모든 경계가 없는 단일 연결 콤팩트 3차원 다양체는 3차원 구면과 위상동형이다.

이 명제는 프랑스의 저명한 수학자 앙리 푸앵카레1904년 논문에 처음 등장하는 추측으로, 우주의 형태에 대한 추측과도 밀접한 관련이 있다. 이 추측이 제기된 이래로 100여 년이 지난 후, 2002년, 2003년러시아의 저명한 수학자 그리고리 페렐만이 발표한 출간되지 않은 논문들에서 증명되었다. 밀레니엄 문제 중 최초로 해결되었다.

푸앵카레 추측[편집]

위상기하학에서 2차원 구면1차원 구면(원주)는 단일 연결이라는 근본적인 특징을 가지고 있는데, 3차원 표면에서도 에 대해서 그러한 사실이 성립하는지에 대한 것이다. 구체적으로 어떤 하나의 닫힌 3차원 공간에서 모든 폐곡선이 수축되어서 하나의 점이 될 수 있다면, 이 공간은 반드시 원구로 변형될 수 있다는 것이다.

역사[편집]

5차원 이상에 대한 문제는 미국의 저명한 수학자 스티븐 스메일이 증명해서 1966년 수학노벨상이라 불리는 필즈상을 수상하였으며, 4차원에 대한 문제는 마이클 프리드먼이 증명해서 1986년 필즈상을 수상하였다. 3차원에 대한 문제는 3-다양체 분류 문제의 중추인데, 윌리엄 서스턴 박사가 3-다양체의 분류에 대한 연구로 1982년 필즈상을 수상해서, 이 추측이 3차원에서도 풀릴 수 있음을 간접적으로 증명하였다. 최종적으로는 이 추측의 해법을 2002년 러시아의 저명한 수학자 그리고리 페렐만arXiv에 발표하였고[1][2][3], 국제 수학 연맹(IMU)이 3년간의 분석 끝에 페렐만의 풀이를 인정해서 페렐만을 2006년 필즈상 수상자로 선정하였으나, 페렐만은 수상을 거부하였다. 같은 업적으로 페렐만은 2010년 3월 18일 밀레니엄상의 수상자로도 선정되었으나[4], 밀레니엄상 역시 거부하였다.[5]

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Perelman, Grigori (2002). “The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications”. arXiv:math/0211159. 
  2. Perelman, Grigori (2003). “Ricci flow with surgery on three-manifolds”. arXiv:math/0303109. 
  3. Perelman, Grigori (2003). “Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds”. arXiv:math/0307245. 
  4. Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman
  5. Worlds cleverest man turns down $1million prize