호지 추측

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밀레니엄 문제

대수기하학에서, 호지 추측(Hodge推測, 영어: Hodge conjecture)은 비특이 복소 대수다양체대수적 위상수학에 대한 주요 미해결 문제이다. 가설의 개요는 드람 코호몰로지류들이 대수적이라는 것이다. 즉, 이 코호몰로지류들은 부분 대수다양체들로 나타낼 수 있는 호몰로지류들의 푸앵카레 쌍대들로 나타낼 수 있다는 것이다.

정의[편집]

복소 n차원의 콤팩트 연결 복소 대수다양체 X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이 위에는 코호몰로지를 다음과 같은 위상수학·해석학·대수기하학을 사용하여 세 가지 방법으로 정의할 수 있다.

호지 코호몰로지와 특이 코호몰로지 사이의 관계는 이미 잘 알려져 있다. 호지 추측은 이들과 대수기하학적 코호몰로지 사이의 관계에 대한 추측이다.

호지 이론[편집]

X는 실수 2n차원의 유향 미분다양체이므로, 대수적 위상수학을 통해 코호몰로지 군 H^0(X),H^1(X),\dots,H^{2n}(X)를 정의할 수 있다. 만약 X켈러 다양체라면, 호지 이론을 사용하여 코호몰로지 군들을 다음과 같이 분해할 수 있다.

H^k(X; \mathbb C) = \bigoplus_{p+q=k} H^{p,q}(X)

여기서 H^{p,q}(X)는 (p,q)차 조화 형식으로 표현되는 코호몰로지류들로 구성되는 부분군이다. 호지 이론에 따라, 특정 복소좌표계 (z_1, \ldots, z_n)에서, (p,q)차 코호몰로지류들은 다음과 같은 꼴의 복소미분형식들의 합으로 표현된다.

dz_{i_1} \wedge \cdots \wedge dz_{i_p} \wedge d\bar z_{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z_{j_q}

코호몰로지 상의 컵곱에 상응하는 조화형식쐐기곱을 취하면 컵곱은 다음과 같이 호지 분해로 변환된다.

\smile : H^{p,q}(X) \times H^{p',q'}(X) \rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).\,

X복소다양체이므로 X에는 기본류 [X]가 있다.

대수적 코호몰로지[편집]

Z\subset X가 복소 k차원의 부분 대수다양체라 하고, 그 매장 사상을 i\colon Z\hookrightarrow X라고 쓰자. 그렇다면 (p, q)차 미분형식 \alpha는 다음과 같이 적분된다.

\int_Z i^*\alpha

물론 i_*[Z]\in H^{k,k}(X)이므로, 만약 (p,q)\ne(k,k)라면 이 적분은 0이다.

보다 추상적으로, 이 적분은 부분대수다양체 Z로 나타내어지는 호몰로지류 [Z]\alpha로 표현되는 코호몰로지류 [\alpha]에 대한 모자곱이라 기술할 수 있다. 푸앵카레 쌍대성에 의해 Z의 호몰로지류의 짝이 되는 코호몰로지류 \operatorname{PD}([Z])\in H^{2n-2k}(X)를 정의할 수 있다. 이 모자곱은 \operatorname{PD}([Z])\alpha의 컵곱에 X기본류를 모자곱하여 계산할 수 있다. 코호몰로지 \operatorname{PD}([Z])는 호지 분해되기 때문이다. 이상과 같이 이 모임에 차수가 (p, q) ≠ (k, k)인 임의의 모임을 컵곱할 경우 0이 됨을 알 수 있다. 따라서 H^{2n}(X;\mathbb C) = H^{n,n}(X)이기 때문에 \operatorname{PD}([Z])\in H^{n-k,n-k}(X;\mathbb C)이어야만 한다.

호지 추측[편집]

호지 추측은 대략 코호몰로지군 H^{k,k}(X)을 부분 대수다양체들로 나타낼 수 있는 코호몰로지류들만으로 나타낼 수 있는지에 대한 질문이다. 구체적으로, 2k호지 류(영어: Hodge class)들의 군

\operatorname{Hdg}^k(X)=H^{k,k}(X)\cap H^{2k}(X;\mathbb Q)

을 생각하자. 그렇다면, 호지 추측에 따르면, 모든 호지 류는 부분대수다양체로 나타낼 수 있는 코호몰로지류들의 유리수 계수 선형결합이다.

역사[편집]

1930년대에 윌리엄 밸런스 더글러스 호지호지 이론의 일환으로 이 추측을 처음으로 발표하였다. 호지가 1950년 세계 수학자 대회 강의에 이 문제를 언급하면서 호지 추측은 수학계의 주요 미해결 문제로 부상하였다.

2000년 클레이 수학연구소는 호지 추측을 밀레니엄 문제의 하나로 선정하였고, 이 문제의 증명이나 반증에 대하여 100만 미국 달러의 상금을 걸었다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]