미분 방정식

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

미분 방정식(微分方程式, differential equation)은 미지의 함수와 그 도함수간의 관계를 나타내는 방정식이며, 줄여서 미방이라고 부르기도 한다. 미분 방정식의 차수(order)는 방정식에 나오는 도함수가 몇 계 도함수까지 나오는지에 따라 결정된다.

미분 방정식은 유체역학, 천체역학(celestial mechanics)등의 물리적 현상의 수학적 모델을 만들 때에 사용된다. 따라서 미분 방정식은 순수수학과 응용수학의 여러 분야에 걸쳐있는 넓은 학문이다.

미분 방정식의 목표는 다음 세가지 이다. 첫째, 특정한 상황을 표현하는 미분 방정식을 발견하는 것이다. 둘째, 그 미분 방정식의 정확한 해를 찾는 것이다. 셋째, 그 찾은 해를 해석하여 미래를 예측하는 것이다. 미분 방정식에 대해 해가 있어야만 하는지, 아니면 해가 유일한지 등의 문제도 중요한 관심사이다. 그러나 응용수학자, 물리학자, 엔지니어들은 대개 주어진 미분 방정식을 푸는 데에 관심을 두기 마련이고, 여기서 얻어진 해는 다리, 자동차, 비행기, 하수도 등을 만드는 데에 이용되고 있다.

[편집] 미분 방정식의 종류

상미분 방정식 : 미지 함수의 독립 변수가 하나인 미분 방정식
편미분 방정식 : 미지 함수의 독립 변수가 둘 이상인 미분 방정식

선형 미분 방정식
비선형 미분 방정식

[편집] 미분 방정식의 예

[편집] 분리형 상미분 방정식

분리형 1차 상미분 방정식의 일반형은 다음과 같다.

$\frac{dy}{dt} + f(t) y = 0,$

여기서 $f (t)$ 는 우리가 알고 있는 함수이며, 이 방정식은 간단히 변수를 다음과 같이 양변으로 분리하여 놓아서 풀 수 있다.

$\frac{dy}{y} = -f(t)\, dt$

위 식을 적분하여 다음의 결과를 얻는다.

y = A e - F (t)

여기서

$F(t) = \int f(t)\,dt.$

$A$ 는 임의의 상수이다. (이 결과가 맞는지 확인하려면, 이 식을 원래의 방정식에 대입해 보면 된다.)

$f (t)$ 가 상수가 아닌 함수이고, 어떤 함수의 경우에는 (우리가 잘 알고 있더라 하더라도) 그 적분이 불가능 할 수도 있기 때문에, 실제적인 풀이는 매우 어려울 수 있다.

[편집] 비분리 1차 상미분 방정식

1차 선형 상미분 방정식(ODE, ordinary differential equation) 중 일부는 위의 예처럼 분리가 불가능하다. 이와 같은 비분리형 1차 상미분 방정식을 풀기 위해선 integrating factor를 알아야 한다. 이 방법을 아래에 설명하고 있다.

1차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 생각해 보자.

$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$