호모토피 군

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대수적 위상수학에서, 호모토피 군(homotopy group)은 위상공간의 위상적 불변량의 하나로, 공간 위에 존재하는 고리들의 호모토피 불변 성질을 나타낸다. 1차 호모토피 군은 기본군이라고도 부른다. 기호는 \pi_n(X).

정의[편집]

X가 위상공간이고, 원점 b\in X이 주어졌다고 하자. 연속함수 [0,1]^n\to X하이퍼큐브 [0,1]^n의 경계를 원점 b로 대응시킨다고 하자. 그렇다면 이러한 연속함수들의 호모토피류를 잡을 수 있다. n호모토피 군 \pi_n(X)은 이러한 함수들의 호모토피류들의 집합이다. \pi_n(X) 위에는 자연스러운 구조가 존재하는데, 다음과 같다. f,g\colon[0,1]^n\to X라면,

fg\colon(t_1,t_2,\dots,t_n)\mapsto\begin{cases}
f(2t_1,t_2,\dots,t_n)&0\le t_1\le1/2\\
g(2t_1-1,t_2,\dots,t_n)&1/2\le t_1\le1.
\end{cases}

이 연산은 호모토피 불변이며, 또한 의 구조를 만족한다는 사실을 보일 수 있다.

성질[편집]

1차 호모토피 군을 기본군이라고 부른다. 2차 이상의 호모토피 군은 항상 아벨 군이다.

호모토피 군은 호몰로지 군 H_n과 관련이 있다. 후레비치 정리(Hurewicz theorem)에 의하여, 자연스러운 준동형사상 \pi_n\to H_n이 존재한다. n=1인 경우, 이 후레비치 준동형사상은 단순히 아벨화 사상(abelianization)이다.

호모토피 군은 일반적으로 원점에 의존하나, 만약 공간이 노상연결공간이라면 원점에 의존하지 않는다.

위상공간 XY가 주어지면, 다음이 성립한다.

\pi_k(X\times Y)=\pi_k(X)\times\pi_k(Y)

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원환면[편집]

원환면 T^k의 호모토피 군은 다음과 같다.

\pi_1(T^k)=\mathbb Z^n
\pi_n(T^k)=1 (자명군) (n>1)

이와 같이, 2차 이상 호모토피 군이 자명한 공간을 비구면 공간(aspherical space)이라고 한다.

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S^k의 호모토피 군들은 매우 복잡하며, 심지어 2차원 구의 경우도 아직 완전히 알려져 있지 않다.

π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12 π13 π14 π15
S0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2 0 2 2 12 2 2 3 15 2 22 12×ℤ2 84×ℤ22 22
S3 0 0 2 2 12 2 2 3 15 2 22 12×ℤ2 84×ℤ22 22
S4 0 0 0 2 2 ℤ×ℤ12 22 22 24×ℤ3 15 2 23 120×ℤ12×ℤ2 84×ℤ25
S5 0 0 0 0 2 2 24 2 2 2 30 2 23 72×ℤ2
S6 0 0 0 0 0 2 2 24 0 2 60 24×ℤ2 23
S7 0 0 0 0 0 0 2 2 24 0 0 2 120 23
S8 0 0 0 0 0 0 0 2 2 24 0 0 2 ℤ×ℤ120

리 군[편집]

일반적으로, 연결 리 군 G의 호모토피 군은 다음과 같다.

흔히 쓰이는 리 군의 호모토피 군은 다음과 같다. 굵은 선 아래는 보트 주기성에 의하여 일정하지만, 굵은 선 위에는 불규칙하다.

π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12
U(1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
U(2) 0 0 ℤ/2 ℤ/2 ℤ/12 ℤ/2 ℤ/2 ℤ/3 ℤ/15 ℤ/2 ℤ/2×ℤ/2
U(3) 0 0 0 ℤ/6
U(4) 0 0 0 0
U(5) 0 0 0 0 0
U(6) 0 0 0 0 0 0
π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9
SO(2) 0 0 0 0 0 0 0 0
SO(3) ℤ/2 0 ℤ/2 ℤ/2 ℤ/12 ℤ/2 ℤ/2 ℤ/3
SO(4) ℤ/2 0 2 (ℤ/2)2 (ℤ/2)2 (ℤ/12)2 (ℤ/2)2 (ℤ/2)2 (ℤ/3)2
SO(5) ℤ/2 0 ℤ/2 ℤ/2 0 0 0
SO(6) ℤ/2 0 0 0 ℤ/24 ℤ/2
π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12 π13
Sp(1) 0 0 ℤ/2 ℤ/2 ℤ/12 ℤ/2 ℤ/2 ℤ/3 ℤ/15 ℤ/2 (ℤ/2)2
Sp(2) 0 0 ℤ/2 ℤ/2 0 0 0 ℤ/120 ℤ/2 (ℤ/2)2
Sp(3) 0 0 ℤ/2 ℤ/2 0 0 0 0 ℤ/2 ℤ/2

참고 문헌[편집]