국소 콤팩트 공간

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일반위상수학에서 국소 콤팩트 공간(局所compact空間, 영어: locally compact space)은 국소적으로 콤팩트한 구조를 갖는 위상 공간이다.

정의[편집]

임의의 위상 공간 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 국소 콤팩트 공간이라고 한다.[1]:182, §29

  • 의 모든 점은 항상 콤팩트 근방을 갖는다.

하우스도르프 분리 공리를 가정한다면, 국소 콤팩트 공간의 개념은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다. 구체적으로, 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

그러나 하우스도르프 공간이 아닌 위상 공간의 경우 위 조건들이 서로 동치이지 않다. 마지막 두 조건은 스스로 하우스도르프 조건을 함의하며, 조건 (4)는 (완비) 정칙 조건을 함의한다. 위 조건들의 일반적인 함의 관계는 다음과 같다.

(2) ↔ (2’) ↔ (2’’)
(5) ↔ (5’) → (4) (1)
(3)

성질[편집]

함의 관계[편집]

콤팩트 공간은 (자명하게) 국소 콤팩트 공간이다.[1]:182

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이며 (베르 범주 정리) 또한 티호노프 공간이다.

증명 (국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 티호노프 공간):

가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 닫힌집합이며, 라고 하자. 상대 콤팩트 근방 를 고르자. 그렇다면 콤팩트 집합이므로, 티호노프 공간이다. 따라서

를 분리하는 연속 함수

가 존재한다. 의 유한 닫힌 덮개를 이루며, 그 교집합은 에 포함되므로, 함수

는 잘 정의되며, 연속 함수이다. 또한

을 만족한다.

연산에 대한 닫힘[편집]

국소 콤팩트 공간 와 위상 공간 가 주어졌다고 하자. 만약 전사 연속 열린 함수 가 존재한다면, 역시 국소 콤팩트 공간이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 닫힌집합열린집합은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.[1]:185, Corollary 29.3 반대로, 하우스도르프 공간의 국소 콤팩트 조밀 집합열린집합이다.[2]:149, Theorem 3.3.9[3]:392 즉, 하우스도르프 공간의 국소 콤팩트 집합은 항상 열린집합닫힌집합교집합이다.

증명:

하우스도르프 공간 의 부분집합 국소 콤팩트 집합이자 조밀 집합이라고 하자. 임의의 에 대하여,

열린집합 를 찾으면 족하다.

열린집합 콤팩트 집합 를 고르자. 이며, 닫힌집합이므로,

이다.

위상 공간들의 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 곱공간 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
  • 모든 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 유한 개를 제외하면 콤팩트 공간이다.

위상군[편집]

가 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이며, 가 그 부분군이라고 하자. 그렇다면, 잉여류 공간 는 국소 콤팩트 공간이다.[1]:186, Exercise 29.9

위상 벡터 공간[편집]

하우스도르프 -위상 벡터 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[4]:16–18, Theorems 1.21–23

[편집]

(유한 차원) 유클리드 공간 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 그러나 가산 무한 곱공간 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.[1]:182–183, Example 29.2

p진수선 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.

모든 이산 공간은 자명하게 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 모든 비이산 공간은 (하우스도르프 공간이 아닐 수 있지만) 항상 자명하게 국소 콤팩트 공간이다.

유리수 공간 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.[1]:186, Exercise 3.1

참고 문헌[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001. 
  3. Gompa, Raghu R. (1992). “What is "locally compact"?”. 《Pi Mu Epsilon Journal》 (영어) 9 (6): 390–392. ISSN 0031-952X. JSTOR 24340250. 
  4. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001. 

외부 링크[편집]