콤팩트 생성 공간

위상수학에서 콤팩트 생성 공간(compact生成空間, 영어: compactly generated space) 또는 k-공간(영어: k-space)은 연속 함수들의 공간이 항상 잘 정의되는 위상 공간이다. 즉, 콤팩트 생성 공간의 범주는 모든 위상 공간들의 범주와 달리 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

정의

위상 공간 $X$, $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$가 다음 조건을 만족시키면, k-연속 함수라고 하자.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 및 연속 함수 $t\colon K\to X$에 대하여, $f\circ t\colon K\to Y$는 연속 함수이다.

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A$가 다음 조건을 만족시키면 k-닫힌집합이라고 하자.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 및 연속 함수 $t\colon K\to X$에 대하여, $t^{-1}(A)$는 닫힌집합이다.

모든 연속 함수는 k-연속 함수이지만, 연속 함수가 아닌 k-연속 함수가 존재한다. 비슷하게, 모든 닫힌집합은 k-닫힌집합이지만, 닫힌집합이 아닌 k-닫힌집합이 존재한다.

위상 공간 $X$에 대하여 다음 네 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 콤팩트 생성 공간이라고 한다.^{:182, Prop. 5.9.1:39}

• $X$를 정의역으로 하는 모든 k-연속 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 $Y$ 및 k-연속 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, $f$는 연속 함수이다.
• $X$의 모든 k-닫힌집합은 닫힌집합이다.
• $X$는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 분리합집합의 몫공간이다. 즉, $X\cong \left(\bigsqcup _{i\in I}K_{i}\right)/{\sim }$인 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 $\{K_{i}\}_{i\in I}$ 및 $\bigsqcup _{i\in I}K_{i}$ 위의 동치 관계 $\sim$가 존재한다.
• 다음 조건을 성립시키는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 $\{K_{i}\}_{i\in I}$ 및 함수들의 집합 $\{f_{i}\colon K_{i}\to X\}_{i\in I}$이 존재한다.
  • 임의의 부분 집합 $A\subseteq X$에 대하여, $A$가 닫힌집합일 필요충분조건은 모든 $i\in I$에 대하여 $f_{i}^{-1}(A)\subseteq K_{i}$가 닫힌집합인 것이다.
• $X$는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 몫공간이다.

콤팩트 생성 공간과 (k-)연속 함수의 범주를 $\operatorname {CGTop}$라고 하고, 위상 공간과 연속 함수의 범주를 $\operatorname {Top}$라고 하고, 위상 공간과 k-연속 함수의 범주를 $\operatorname {Top_{k}}$라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

$\operatorname {CGTop} \to \operatorname {Top} \to \operatorname {Top_{k}}$

이를 합성하여 얻는 함자 $\operatorname {CGTop} \to \operatorname {Top_{k}}$는 범주의 동치를 이룬다.

성질

모든 국소 콤팩트 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 모든 제1 가산 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 모든 CW 복합체는 콤팩트 생성 공간이다.^{:139, Exercise 4.7.10}

콤팩트 생성 공간의 범주론적 연산

포함 관계

$\operatorname {CGTop} \to \operatorname {Top}$

에 따라, $\operatorname {CGTop}$는 $\operatorname {Top}$의 반사 부분 범주를 이루며, 그 수반

$k\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {CGTop}$

을 콤팩트 생성화(영어: kaonization)라고 한다. 위상 공간 $X$의 콤팩트 생성화 $k(X)$는 집합으로서 $X$와 같지만 $X$보다 더 섬세한 위상을 갖는다. 구체적으로, $k(X)$의 닫힌집합은 $X$의 k-닫힌집합이다.

$\operatorname {CGTop}$는 ($\operatorname {Top}$와 마찬가지로) 완비 범주이며 쌍대완비 범주이다. $\operatorname {CGTop}$에서의 쌍대극한은 $\operatorname {Top}$와 같으며, $\operatorname {CGTop}$에서의 극한은 $\operatorname {Top}$에서의 극한의 콤팩트 생성화이다. 예를 들어, $\operatorname {CGTop}$에서의 곱은 다음과 같으며, 일반적으로 (위상 공간의) 곱공간과 다르다.

$X\times _{\operatorname {CGTop} }Y=k(X\times _{\operatorname {Top} }Y)$

$\operatorname {CGTop}$는 ($\operatorname {Top}$와 달리) 데카르트 닫힌 범주이다. 임의의 두 콤팩트 생성 공간 $X$, $Y$ 사이의 (k-)연속 함수들의 집합 ${\mathcal {C}}(X,Y)$에 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상을 부여하자.

• 임의의 열린집합 $U\subseteq Y$ 및 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 및 연속 함수 $t\colon K\to X$에 대하여, $\{f\in K(X,Y)\colon f\circ t(K)\subseteq U\}$.

만약 $X$가 하우스도르프 공간이라면, 이는 콤팩트-열린집합 위상과 같다. 그렇다면, $\operatorname {CGTop}$에서의 지수 대상 $Y^{X}$는 ${\mathcal {C}}(X,Y)$의 콤팩트 생성화이다.

$(Y^{X})_{\operatorname {CGTop} }=k({\mathcal {C}}(X,Y))$

콤팩트 생성 하우스도르프 공간

위와 마찬가지로, 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname {CGHaus}$ 및 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname {CGWH}$를 정의할 수 있다. 이들 역시 완비 범주이자 쌍대완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이다.

역사

이 개념은 원리 비톨트 후레비치가 도입하였다. 이후 로널드 브라운(영어: Ronald Brown)이 1961년 박사 학위 논문에서 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 데카르트 닫힌 범주임을 증명하였다.^:199 이후 1967년에 노먼 스틴로드는 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 대수적 위상수학을 전개하기에 가장 편리한 범주라고 제안하였다.

예

흔히 볼 수 있는 대부분의 위상 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 콤팩트 생성 공간이 아닌 공간의 예로는 다음이 있다.

비가산 기수 $\kappa \geq \aleph _{1}$에 대하여, 실수선의 비가산 무한 곱공간 $\mathbb {R} ^{\kappa }$는 콤팩트 생성 공간이 아니다.^{:184:240, Exercise 7J(b)}

외부 링크

• “Compactly generated space”. 《nLab》 (영어). 
• “Convenient category of topological spaces”. 《nLab》 (영어). 
• “Compactly generated space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Compactly generated Hausdorff space”. 《Topospaces》 (영어). 
• Strickland, N. P. (2009년 8월 19일). “The category of CGWH spaces” (PDF) (영어). 2016년 3월 3일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 6월 16일에 확인함. 
• “Why the “W” in CGWH (compactly generated weakly Hausdorff spaces)?” (영어). Math Overflow. 
• “Products with compactly generated spaces” (영어). Math Overflow.