해밀턴 역학

	고전역학
	; 뉴턴의 두번째 법칙
기본 개념
	공간 · 시간 · 질량 · 힘 · 에너지 · 운동량;
공식
	뉴턴 역학; 라그랑주 역학; 해밀턴 역학;
분과
	정역학; 동역학; 운동학; 응용 역학; 천체 역학; 연속체 역학
과학자
	아이작 뉴턴; 레온하르트 오일러; 장 르 롱 달랑베르; 알렉시스 클레로; 조제프루이 라그랑주; 피에르시몽 라플라스; 윌리엄 로원 해밀턴; 시메옹 드니 푸아송;
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해밀턴 역학의 창시자, 윌리엄 로원 해밀턴 경.

해밀턴 역학(Hamiltonian mechanics)은 아일랜드의 수학자 윌리엄 로원 해밀턴이 기존의 고전역학의 이론이였던 뉴턴 역학과 라그랑주 역학 새롭게 재정립한 이론으로 1833년에 처음 소개되었다. 라그랑주 역학은 n차원 좌표공간상의 2차 미분방정식을 사용하여 문제를 해결하지만, 해밀턴 역학은 2n차원 위상공간상에서 1차 미분방정식을 사용하여 문제를 해결한다는 점이 다르다.

처음 라그랑주 역학이 등장했을 때와 마찬가지로, 해밀턴 역학 또한 고전역학의 문제를 바라보는 새로운 관점을 제공해 주었다. 대체로, 이 방법은 개별문제를 푸는 데는 많은 도움이 되지 않는다. 하지만, 해밀턴 역학의 놀라움은 여기에 있지 않다. 해밀턴 역학은 개별 문제를 푸는 데는 많은 도움을 주지 않지만, 고전역학이라는 것의 구조를 이해하는 것과 이 이후의 양자역학, 통계물리학과 같은 여러 현대물리학의 분야들을 이해하는 데 도움을 준다.

[편집] 해밀턴 방정식

해밀턴 역학의 방정식을 해밀턴 방정식(Hamilton's equations)이라고 한다.

일반화 좌표 $\left\{\, q_i | i=1, \ldots,N \,\right\}$ 와 일반화 운동량 $\left\{\, p_i | i=1, \ldots,N \,\right\}$ 으로 구성된 위상공간이 주어졌을 때, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.

$\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$

$\dot{q}_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i}$

여기서 해밀토니안 H는 일반화 좌표와 일반화 운동량에 관계되는 함수로써, 다음과 같이 라그랑지안 L의 일반화 속도를 일반화 운동량으로 바꾸는 르장드르 변환으로 정의된다.

$H = H(q_i, \; p_i, \; t) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L$

보존계의 경우, 운동에너지 T와 위치에너지 U의 합으로 주어진다.

H = T + U

[편집] 라그랑주 역학으로부터 해밀턴 방정식의 유도

해밀턴 방정식의 유도는 라그랑지안 L의 전미분으로부터 시작한다.

$dL = \sum_i {\partial L \over \partial q_i} dq_i + \sum_i {\partial L \over \partial \dot{q}_i} d \dot{q}_i + {\partial L \over \partial t} dt$

그런데 일반화 운동량의 정의에 따르면

$p_i \equiv {\partial L \over \partial \dot{q}_i }$

이고, 라그랑주 방정식으로부터,

$\dot{p}_i = {\partial L \over \partial q_i}$

임을 알 수 있다. 이를 라그랑지안의 전미분에 대입하면

$dL = \sum_i \dot{p}_i dq_i + \sum_i p_i d \dot{q}_i + {\partial L \over \partial t} dt$

를 얻는다. 여기서 우변의 둘째항을 미분의 곱의 법칙을 사용해

$\sum_i p_i d \dot{q}_i = d \left(\sum_i p_i \dot{q}_i \right) - \sum_i \dot{q}_i d p_i$

와 같이 표현하고 이를 정리하면

$d \left(\sum_i p_i \dot{q}_i - L \right) = -\sum_i \dot{p}_i dq_i + \sum_i \dot{q}_i d p_i - {\partial L \over \partial t} dt$

여기서 해밀토니안 H를 정의한다.

$H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L$

이를 이용해 식을 다시 쓰면

$d H = -\sum_i \dot{p}_i dq_i + \sum_i \dot{q}_i d p_i - {\partial L \over \partial t} dt$

가 된다. 이 식은 해밀토니안 H가 일반화 좌표 q_i, 일반화 운동량 p_i, 시간 t의 함수임을 보여준다. 그와 동시에 해밀토니안 H를 알면 다음과 같은 식을 통해 변수 q_i, p_i를 알수 있음을 보여주고 있다.

$\dot{q}_i = ~~{\partial H \over \partial p_i}$

$\dot{p}_i = - {\partial H \over \partial q_i}$

이 두 식을 해밀턴 방정식이라 한다. 그리고 마지막 항에서 해밀토니안과 라그랑지안의 다른 관계를 알 수 있다.

${\partial H \over \partial t} = - {\partial L \over \partial t}$

이 식도 해밀토니안의 전미분에서 얻어지지만, 운동과 직접적인 관련이 없는 식이기 때문에 보통 해밀턴 방정식에 포함시키지 않는다.

[편집] 해밀턴의 원리로부터 해밀턴 방정식의 유도

해밀턴 방정식은 해밀턴의 원리로부터 얻을수도 있다. 먼저 해밀턴의 원리에서의 작용은 다음과 같다.

$S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, dt$

여기서, 라그랑지안 $L$ 에 해밀토니안 $H$ 의 르장드르 변환 $\textstyle L = \sum_i p_i \dot{q}_i - H$ 를 대입하면 다음과 같은 작용을 얻는다.

$S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \sum_i p_i dq_i - H dt \right]$

이 작용에 변분을 취하면

$\delta S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \sum_i \left( \delta p_i \dot{q}_i + p_i \delta \dot{q}_i - {\partial H \over \partial p_i } \delta p_i - {\partial H \over \partial q_i } \delta q_i dt \right) \right] dt$

이 된다. 여기서 두번째 항은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$p_i \delta \dot{q}_i = {d \over dt} p_i \delta q_i - \dot{p}_i \delta q_i$

따라서 이를 대입하고 각 좌표의 변분을 묶어주면 작용의 변분은 다음과 같이 된다.

$\delta S[\mathbf{q}(t)] = \left. p_i \delta q_i \right|_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \sum_i \left\{ \left( \dot{q}_i - {\partial H \over \partial p_i } \right) \delta p_i - \left(\dot{p}_i + {\partial H \over \partial q_i } \right) \delta q_i \right\} \right] dt$

여기서, 첫번째 항은 위치의 변분은 양 끝에서 0이다는 조건에 의해 0이 되고 나머지 뒤 항에선 작용의 변분이 0이 되어야 하므로, 위치와 운동량의 변분의 계수가 0이 되어야 함을 알 수 있다. 여기에서 해밀턴 방정식을 얻을 수 있다.

$\dot{q}_i = ~~{\partial H \over \partial p_i}$

$\dot{p}_i = - {\partial H \over \partial q_i}$

[편집] 참고문헌

문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 271-3, 274-6쪽.

해밀턴 역학

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목차

[편집] 해밀턴 방정식

[편집] 라그랑주 역학으로부터 해밀턴 방정식의 유도

[편집] 해밀턴의 원리로부터 해밀턴 방정식의 유도

[편집] 참고문헌

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