평행축 정리

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고전역학에서, 평행축 정리(平行軸定理, parallel-axis theorem)란 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트들 사이의 관계에 대한 정리다. 이 정리를 써서, 한 축에서의 관성 모멘트를 알면 이와 평행한 임의의 축에서의 관성 모멘트를 구할 수 있다.

스칼라 관성 모멘트에 대한 평행축 정리[편집]

I_{\textrm{cm}}를 질량중심을 통과하는 축에 대한 관성모멘트라 하고, 이 축에서 거리 d만큼 평행이동된 축에 대한 새로운 관성모멘트를 I, 강체의 질량을 m이라 하자. 이 때, 스칼라 관성모멘트에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

I = I_{\textrm{cm}} + md^2

증명[편집]

먼저 두 회전축은 모두 z축에 평행하다고 하자. 이 때, I_{\textrm{cm}}는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

I_{\textrm{cm}} = \sum_i m_i \left( x_i^2 + y_i^2 \right)

질량 중심직교좌표계의 중심으로 놓고 xy평면 상에서 새로운 회전축의 좌표를 (a, b)라 놓으면 피타고라스의 정리에 의해

d^2 = a^2 + b^2

이 되고, 새로운 관성 모멘트 I

I = \sum_i m_i \left[ (x_i-a)^2 + (y_i-b)^2 \right]

이 된다. 3차원 물체의 경우, 위 두 관성 모멘트의 식에서 z에 대한 항이 나오지는 않지만 강체 전체의 관성 모멘트를 구하기 위해선 질량항과 합에서 이를 고려해야 함에 유의하자. 이제 위 식을 전개해보자.

I = \sum_i m_i \left( x_i^2 + y_i^2 \right) - 2a \sum_i m_i x_i - 2 b \sum_i m_i y_i + \left( a^2 + b^2 \right) \sum_i m_i

이 식의 첫 번째 항은 I_{\textrm{cm}}에 해당하는 항이다. 두 번째 항과 세 번째 항의 경우, 원점을 질량중심으로 잡았기 때문에 0이 된다. 마지막 항의 합은 질량들을 전부 합한것이므로 m이 된다. 따라서 아래의 평행축 정리를 얻는다.

I = I_{\textrm{cm}} + md^2

점입자가 아닌 커다란 강체에 대해서도 합기호를 적분으로, 질량을 질량무한소로 바꾸면 똑같은 결과를 얻을 수 있다.

관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리[편집]

관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리도 위와 약간 유사하지만 조금 다른 형태를 가지고 있다. 질량 중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트 텐서를 \mathbf{I}, 새로운 관성 모멘트 텐서를 \mathbf{I}'이라 하면 직교좌표계에서 이들의 성분에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.

I'_{ij}=I_{ij} + m(a^2 \delta_{ij}-a_i a_j)

여기서 \mathbf{a}는 질량 중심으로부터 새로운 축을 가리키는 벡터이고 \delta_{ij}크로네커 델타이다.

증명[편집]

스칼라 관성 모멘트의 경우와 마찬가지로 질량 중심에 대한 회전축과 새로운 회전축이 평행하다 가정하고, 좌표로 이를 표현했을 때, 새로운 좌표 O'질량중심을 기준으로 하는 원래 좌표 O로부터 \mathbf{a}만큼 평행이동한 좌표, 즉, 새로운 좌표의 원점이 질량중심을 기준으로 한 좌표의 원점으로부터 \mathbf{a}만큼 이동된 곳에 원점을 두는 좌표라 하자. 이 때, 직교좌표계로 표현되는 새로운 좌표에서의 관성모멘트 텐서의 성분은 다음과 같다.

I'_{ij} = \sum_n m_n \left(|\mathbf{r}'_n|^2 \delta_{ij} - r'_{ni} r'_{nj} \right)

여기서 n는 입자를 가리키는 지표, ij는 좌표의 성분을 나타내는 지표이다. 여기에

\mathbf{r}'_n = \mathbf{r}_n - \mathbf{a}

를 대입하면

I'_{ij} = \sum_n m_n \left[ |\mathbf{r}_n - \mathbf{a}|^2 \delta_{ij} - \left(r_{ni} - a_i \right) \left(r_{nj} - a_j \right) \right]

조금 복잡하지만 이를 전개하면

I'_{ij} = \sum_n m_n \left[ \left(|\mathbf{r}_n|^2 - 2 \mathbf{r}_n \cdot \mathbf{a} + |\mathbf{a}|^2 \right) \delta_{ij} - \left(r_{ni} r_{nj} -  r_{ni} a_j - r_{nj} a_i + a_i a_j  \right) \right]

항이 많지만, \mathbf{a}는 상수이고, O는 질량중심이 원점인 좌표이므로 i에 관계없이

\sum_n m_n r_{ni} = 0

임을 활용하면 두 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 항이 사라지고 몇 개의 항만이 남는다.

I'_{ij} = \sum_n m_n \left[ \left(|\mathbf{r}_n|^2 + |\mathbf{a}|^2 \right) \delta_{ij} - \left(r_{ni} r_{nj} + a_i a_j  \right) \right]

\mathbf{r}\mathbf{r}끼리, \mathbf{a}\mathbf{a}끼리 정리하면

I'_{ij} = \sum_n m_n \left( |\mathbf{r}_n|^2   \delta_{ij} - r_{ni} r_{nj} \right) - \sum_n m_n \left( |\mathbf{a}|^2 \delta_{ij} - a_i a_j  \right)

을 얻는다. 여기서 첫 번째 합의 경우, I_{ij}가 되고 두 번째 항의 경우 \mathbf{a}n과 관계없는 벡터이기 때문에 m_n에 대한 합만이 되어 이부분은 전체 질량이 된다. 따라서 아래의 관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리를 얻는다.

I'_{ij}=I_{ij} + m(a^2 \delta_{ij}-a_i a_j)

참고문헌[편집]

  • Hugh D. Young, Roger A. Freedman (2004). 〈9.5 Parallel-Axis Theorem〉, 《Sears and Zemansky's University Physics: with Modern Physics》, 11th Edition, Addison Wesley, p. 345-6쪽
  • 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 233-4쪽.
  • Eric Weisstein. Parallel Axis Theorem. 《Eric Weisstein's World of Physics》. 2008년 8월 18일에 확인.