미분형식

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미분형식(微分形式, 영어: differential form)은 다양체여접다발의 외승의 단면이다. 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 dx, dy 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, p차원의 다양체에서는 p-형식을 자연스럽게 적분할 수 있다. 다변수 미적분학미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다. 미분형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다.

정의[편집]

자연수 k에 대해, 다양체 상의 여접다발외 k승(kth exterior power)한 것의 매끈한 단면k차 미분형식, 줄여서 k-형식이라 한다. 다양체의 임의의 점 p에 대해, k-형식은 p에서의 접공간의 외 k승으로부터 R로의 다중선형사상을 준다.

다양체 M 위의 모든 k-형식들의 집합은 벡터공간을 이루며, 보통 이를 Ωk(M)로 나타낸다. k-형식은 완전반대칭 공변 텐서장으로 정의할 수도 있다.

지표 표기법[편집]

미분형식은 추상적으로 나타낼 수 있지만, 구체적으로 지표를 가지고 나타낼 수도 있다. n차원 다양체에 국소적 좌표계 \{x^i\}_{i=1,\dots,n}를 잡으면,

\{dx^i\}_{i=1,\dots,n}

는 1차 미분형식들의 기저를 이룬다. 따라서, 임의의 k차 미분형식은 다음과 같이 성분으로 전개할 수 있다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.)

A=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}

이에 따라서, 예를 들어 리만 계량 g에 의한 부피 형식은

\omega=\sqrt{\det(g_{ij})}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n=\frac1{k!}\epsilon_{i_1\dots i_n}\sqrt{\det(g_{ij})}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

이므로,

\omega_{i_1\dots i_n}=\sqrt{\det(g_{ij})}\epsilon_{i_1\dots i_n}

이 된다.

쐐기곱[편집]

미분형식의 쐐기곱은 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 \alpha\in\Omega^k(M)\beta,\beta'\in\Omega^l(M), f\in\Omega^0(M)에 대하여,

성분으로 적으면 다음과 같다.

\left(\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\right)\wedge\left(\frac1{l!}B_{j_1\dots j_l}dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_l}\right)=\frac1{(k+l)!}\frac1{k!l!}A_{[i_1\dots i_k}B_{j_1\dots j_l]}dx^{i_1}\wedge\cdots dx^{i_k}\wedge dx^{j_1}\wedge dx^{j_l}
(A\wedge B)_{i_1\dots i_kj_1\dots j_l}=\frac1{k!l!}A_{[i_1\dots i_k}B_{j_1\dots j_l]}

여기서 [\dots]는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식 A, B의 쐐기곱은

(A\wedge B)_{ijkl}=A_{ij}B_{kl}-A_{jk}B_{li}+A_{kl}B_{ij}-A_{li}B_{jk}-A_{ik}B_{jl}-A_{jl}B_{ik}

이다.

외미분[편집]

미분형식의 외미분(外微分, 영어: exterior derivative)은

d\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet+1}(M)

은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다.

  • 외미분은 (상수 계수에 대한) 선형변환이다.
  • 0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 기울기다. 즉, f\in\Omega^0(M)에 대하여, df=\sum_{i=1}^n(\partial f/\partial x^i)dx^i이다.
  • 모든 0차 형식에 대해, d^2f=0이다.
  • 임의의 \alpha\in\Omega^k(M), \beta\in\Omega^\bullet(M)에 대하여 d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta이다.

성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) 임의의 k차 미분형식

A=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}

에 대하여,

dA=\frac1{k!}(\partial_{i_0}A_{i_1\dots i_k})dx^{i_0}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}
=\frac1{(k+1)!k!}(\partial_{[i_0}A_{i_1\dots i_k]})dx^{i_0}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}

이다. 즉,

(dA)_{i_0\dots i_k}=\frac1{k!}\partial_{[i_0}A_{i_1\dots i_k]}=\partial_{i_0}A_{i_1\dots i_k}-\partial_{i_1}A_{i_0i_2\dots i_k}
+\partial_{i_2}A_{i_1i_0i_3\dots i_k}+\cdots+(-1)^p\partial_{i_p}A_{i_1i_2\dots i_{p-1}i_0i_{p+1}\dots i_k}+\cdots+(-)^k\partial_{i_k}A_{i_1\dots i_{k-1}i_0}

이다. 여기서 [\cdots]는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우

A=A_idx^i
dA=\frac12(\partial_iA_j-\partial_jA_i)dx^i\wedge dx^j=\frac12(dA)_{ij}dx^i\wedge dx^j
(dA)_{ij}=\partial_iA_j-\partial_jA_i

이고, 2차 형식의 경우

A=\frac12A_{ij}dx^i\wedge dx^j
dA=\frac16(\partial_iA_{jk}+\partial_jA_{ki}+\partial_kA_{ij})dx^i\wedge dx^j\wedge dx^k=\frac16(dA)_{ijk}dx^i\wedge dx^j\wedge dx^k
(dA)_{ijk}=\partial_iA_{jk}+\partial_jA_{ki}+\partial_kA_{ij}

이다.

미분형식의 내적[편집]

만약 n차원 미분다양체 M 위에 (유사) 리만 계량 g가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분형식의 내적 \langle\cdot,\cdot\rangle\colon\Omega^\bullet(M)\times\Omega^\bullet(M)\to\Omega^0(M)을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.

  • 서로 차수가 다른 두 미분형식의 내적은 항상 0이다.
  • 내적은 쌍선형이다.
  • 임의의 k개의 1차 형식 \eta_i, \eta'_j에 대하여,
\langle\eta_1\wedge\dots\wedge\eta_k,\eta'_1\wedge\dots\wedge\eta'_k\rangle=\det(g(\eta_i,\eta_j))_{ij}
이다.

즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자)

\left\langle\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k} dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_n},
\frac1{k!}B_{j_1\dots j_k} dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}\right\rangle=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}B_{j_1\dots j_k}g^{i_1j_1}\dots g^{i_kj_k}

이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.

\langle\omega,\omega\rangle=\frac1{n!}(\det g)\epsilon_{i_1\dots i_n}\epsilon_{j_1\dots j_n}g^{i_1j_1}\dots g^{i_nj_n}=1.

호지 쌍대[편집]

n차원 유향 (유사) 리만 다양체 (M,g,\omega)가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호지 쌍대 연산자를 정의할 수 있다.

*\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{n-\bullet}(M)

이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.

\alpha\wedge*\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\omega

성분으로 쓰면 다음과 같다.

(*A)_{j_{k+1}\dots j_n}=\frac1{k!}\sqrt{|\det g|}\alpha_{i_1\dots i_k}\epsilon_{j_1\dots j_n}g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k}

예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는

(*A)_{kl}=\frac12\sqrt{|\det g|}\epsilon_{ijkl}A_{i'j'}g^{ii'}g^{jj'}

이다.

참고 문헌[편집]