미분형식

미분형식(微分形式, 영어: differential form)은 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다. 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 $dx$, $dy$ 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, $p$차원의 다양체에서는 $p$-형식을 자연스럽게 적분할 수 있다. 다변수 미적분학 및 미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장과 자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다. 미분형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕(Elie Cartan)이 도입하였다.

정의

자연수 k에 대해, 다양체 상의 여접다발을 외 k승(kth exterior power)한 것의 매끈한 단면을 k차 미분형식, 줄여서 k-형식이라 한다. 다양체의 임의의 점 p에 대해, k-형식은 p에서의 접공간의 외 k승으로부터 R로의 다중선형사상을 준다.

다양체 M 위의 모든 k-형식들의 집합은 벡터공간을 이루며, 보통 이를 Ω^k(M)로 나타낸다. k-형식은 완전반대칭 공변 텐서장으로 정의할 수도 있다.

참고 문헌

• Lessig, Christian (2012년 5월 20일). A Primer on Differential Forms. arXiv:1206.3323. Bibcode: 2012arXiv1206.3323L.