해밀턴의 원리

해밀턴의 원리(Hamilton's principle)란 미분방정식을 사용한 고전역학의 기술방식과는 달리 변분법을 사용해 적분방정식으로 고전역학을 기술하는 원리이다. 이 원리는 고전역학에서 시작된 원리이지만, 전자기학, 일반상대성이론, 양자역학, 양자장론등 여러 물리학 분야를 기술하는 최소작용의 원리로 확장되었다.

수학적 설명

해밀턴의 원리는 $N$개의 일반화 좌표 $\mathbf{q} = \left( q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N} \right)$로 표현되는 계의 두 상태 $\mathbf{q}_{1} = \mathbf{q}(t_{1})$ 와 $\mathbf{q}_{2} = \mathbf{q}(t_{2})$ 사이의 진화는 다음과 같은 작용 범함수의 극값이라는 원리이다.

$S[\mathbf{q}(t)] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, dt$

여기서 $L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$은 계의 라그랑지안이다. 바꿔말하면, 진화의 일차 건드림은 작용 $S$의 이차 변화를 이끌어 내는것을 말한다. 여기서 작용 $S$는 어떤 함수를 대입하면 스칼라가 나오는 범함수임에 유의하자. 함수해석학의 표기를 따르면, 해밀턴의 원리는 계의 진화가 다음과 같은 범함수 방정식

$\frac{\delta S}{\delta \mathbf{q}(t)}=0$

의 해임을 의미한다.

미분방정식을 통한 고전역학의 기술과의 비교

위 사실이 미분방정식을 사용한 고전역학의 기술과 동등함을 보이려면, 위 식으로부터 라그랑주 방정식이나 해밀턴 방정식을 얻어낼 수 있어야 한다.

$\mathbf{q}(t)$를 시간이 $t_{1}$ 와 $t_{2}$일 때의 계의 상태 $\mathbf{q}_{1} = \mathbf{q}(t_{1})$ 와 $\mathbf{q}_{2} = \mathbf{q}(t_{2})$ 사이의 진화라고 하자. 이 계의 일반화 좌표 $\mathbf{q}$를 가상적으로 $\delta \mathbf{q}(t)$변분했다 하자. 그리고 양 끝에서는 계의 상태가 정해져 있으므로, $\delta \mathbf{q}(t)$의 값은 0이 된다.

$\delta \mathbf{q}(t_1) = 0$

$\delta \mathbf{q}(t_2) = 0$

경로가 변함에 따라 작용이 어떻게 변하는지 알아보기 위해 작용에 변분을 취하면,

$\delta S = \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, dt = \sum_i \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ {\partial L \over \partial q_i} \delta q_i + {\partial L \over \partial \dot{q}_i } \delta \dot{q}_i \right]\, dt$

가 된다. 여기서 마지막 항에 부분적분을 쓰면,

$\delta S = \sum_i \left[ \int_{t_{1}}^{t_{2}} {\partial L \over \partial q_i} \delta q_i dt + \left. \delta q_i {\partial L \over \partial \dot{q}_i } \right|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta q_i {d \over dt}{\partial L \over \partial \dot{q}_i} dt \right]$

이고 양 끝에서 경로의 변분이 0이므로,

$\delta S = \sum_i \left[ \int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta q_i \left( {\partial L \over \partial q_i} - {d \over dt}{\partial L \over \partial \dot{q}_i} \right) dt \right]$

이 된다. 최종적으로 해밀턴의 원리는 이 변분의 값이 0인 것을 말하므로 괄호안의 항이 0, 즉

${\partial L \over \partial q_i} - {d \over dt}{\partial L \over \partial \dot{q}_i} =0$

임을 말한다. 이 해를 라그랑주 방정식과 비교하면 일치함을 확인할 수 있다. 특별히, 이렇게 변분을 통해 얻어진 이 방정식을 오일러-라그랑주 방정식이라고 한다. 따라서 이 최소작용의 원리는 미분방정식을 사용한 고전역학의 기술과 동등함을 알 수 있다.

참고문헌

• 문희태 (2006). 《고전역학》, 개정판, 서울: 서울대학교 출판부, 60-5, 274-5쪽
• Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion (2003). 《Classical Dynamics of Particles and Systems》, Fifth Edition, Brooks/Cole, p. 229-231쪽
• Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). 《Classical Mechanics》, 3판, Addison Wesley, p. 34-6쪽
• Gray, Chris G (2009년). Principle of least action. 《Scholarpedia》 4 (12): 8291. doi:10.4249/scholarpedia.8291.