르장드르 변환

르장드르 변환(Legendre transformation)은 볼록함수를 다른 볼록함수로 변환하는 연산이다. 대략 한 좌표에 대하여 자연스러운 함수를, 이에 대응하는 운동량 좌표에 대하여 자연스러운 함수로 바꾸는 것으로 생각할 수 있다. 르장드르 변환은 스스로의 역이다. 즉, 어떤 함수에 르장드르 변환을 두 번 가하면 다시 원래 함수를 얻는다.

정의

어떤 연속미분가능 볼록함수 $f(x)\colon\mathbb R\to\mathbb R$를 생각하자. 볼록함에 따라, 다음과 같은 역함수를 정의할 수 있다.

$f'(x)=p\Leftrightarrow x=(f')^{-1}(p)$.

그렇다면, $f$의 르장드르 변환 $f^\star(p)$는 다음과 같다.

$f^\star(p)=xp-f(x)=(f')^{-1}(p)p-f((f')^{-1}(p))$.

성질

르장드르 변환은 스스로의 역이다. 즉,

$\frac{df^\star}{dp}=x+p\frac{dx}{dp}-\frac{df}{dx}\frac{dx}{dp}=x$

이므로,

$f^{\star\star}(x)=xp-f^\star(p)=xp-(xp-f(x))=f(x)$

이다.

같이 보기

• 영의 부등식