르장드르 변환

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르장드르 변환(Legendre變換, 영어: Legendre transformation)은 볼록함수를 다른 볼록함수로 변환하는 연산이다. 대략 한 좌표에 대하여 자연스러운 함수를, 이에 대응하는 운동량 좌표에 대하여 자연스러운 함수로 바꾸는 것으로 생각할 수 있다. 르장드르 변환은 스스로의 역이다. 즉, 어떤 함수에 르장드르 변환을 두 번 가하면 다시 원래 함수를 얻는다.

정의[편집]

벡터공간 V 속의 볼록집합 A\subset X 위에 연속 볼록함수 f\colon X\to\mathbb R가 주어졌다고 하자. f도함수 A^\star=\nabla f(A)을 정의하자. 그렇다면 f르장드르 변환

f^\star\colon A^\star\to\mathbb R

은 다음과 같다.

f^\star(x^\star)=\sup_{x\in A}\{x^\star x-f(x)\}

만약 f연속미분가능이라면, 그 도함수의 역함수를 정의할 수 있다.

f'(x)=x^\star\Leftrightarrow x=(f')^{-1}(x^\star)

그렇다면 f^\star(x^\star)는 다음과 같이 표현할 수 있다.

f^\star(x^\star)=x^\star x-f(x)=(f')^{-1}(x^\star)x^\star-f((f')^{-1}(x^\star))

성질[편집]

르장드르 변환은 스스로의 역이다. 즉,

\frac{df^\star}{dx^\star}=x+x^\star\frac{dx}{dx^\star}-\frac{df}{dx}\frac{dx}{dx^\star}=x

이므로,

f^{\star\star}(x)=xx^\star-f^\star(x^\star)=xx^\star-(xx^\star-f(x))=f(x)

이다.

[편집]

f(x) \operatorname{dom}f f^\star(x^\star) \operatorname{dom}f^\star 조건
af(x) \operatorname{dom}f af^\star(x^\star/a) a\cdot\operatorname{dom}f^\star a>0
f(ax) a^{-1}\cdot\operatorname{dom}f f^\star(x^\star/a) a\cdot\operatorname{dom}f^\star a>0
f(x)+a \operatorname{dom}f f^\star(x^\star)-a \operatorname{dom}f^\star a\in\mathbb R
f(x-a) a+\operatorname{dom}f f^\star(x^\star)+ax^\star \operatorname{dom}f^\star a\in\mathbb R
f(x)+ax \operatorname{dom}f f^\star(x^\star-a) a+\operatorname{dom}f^\star a\in\mathbb R
f(x)+g(x) \operatorname{dom}f\cap\operatorname{dom}g (f^\star\star_\text{inf}g^\star)(x^\star) \operatorname{dom}f^\star+\operatorname{dom}g^\star (f\star_{\text{inf}}g)(x)=\inf_y\{f(x-y)+g(y)\}
(f\star_\text{inf}g)(x) \operatorname{dom}f+\operatorname{dom}g f^\star(x^\star)+g^\star(x^\star) \operatorname{dom}f^\star\cap\operatorname{dom}g^\star (f\star_{\text{inf}}g)(x)=\inf_y\{f(x-y)+g(y)\}
ax+b \mathbb R -b \{a\}
|x|^p/p \mathbb R |x^\star|^{p^\star}/p^\star \mathbb R 1/p+1/p^\star=1, p>1
-x^p/p [0,\infty) -|x^\star|^{p^\star}/p^\star (-\infty,0] 1/p+1/p^\star=1, p<1
\exp(x) \mathbb R x^\star(\ln(x^\star)-1) \mathbb R^+
x\ln(x) \mathbb R^+ \exp(x-1) \mathbb R
-1/2-\ln x \mathbb R^+ -1/2-\ln|x^\star| \mathbb R^-
x\exp(x+1) \mathbb R x^\star(W(x^\star)-1)^2/W(x^\star) [-1/e,\infty) W람베르트 W 함수

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]