모함수 (물리학)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

해밀턴 역학에서, 모함수(母函數, generating function)는 두 개의 일반화 좌표간의 정준변환을 연결해주는 함수이다.

도입[편집]

기존의 일반화 좌표 \{ p_i , q_i , t \}로부터 정준변환에 의한 새로운 좌표 \{ P_i , Q_i , t \}해밀턴 방정식의 형태를 유지하려면 다음과 같은 형태의 해밀턴의 원리를 만족하면 된다.

\delta \int_{t_1}^{t_2} \left[ \sum_i P_i \dot{Q}_i - \hat{H}(P_i,Q_i,t) + {dF \over dt} \right] dt=0

여기서 \hat{H}는 새로운 좌표로 기술된 해밀토니언이고 F는 임의의 함수이다. 여기서 F에 관계된 항은, 적분하면 경로의 양 끝에만 관계된 값이 되고, 이는 변분하면 없어지게 된다. 따라서, 최종적으로 얻는 해밀턴 방정식F에 관계없는 식이 된다. 따라서 F를 자유롭게 선택할 수 있는데, 이 함수를 모함수라 한다.

그런데 좌표변환 관계식

Q_i = Q_i (p_i, q_i, t)
P_i = P_i (p_i, q_i, t)

에 의해 위의 식이 제약이 되기 때문에 F를 완전 자유롭게 선택할 수는 없게 된다. 위 제약에서 자유롭게 되기 위해서는 서로 독립적인 변수를 사용하여야 한다. 두 종류의 식에 의해 제약이 되므로 모함수가 선택할 수 있는 좌표는 \{ q_i, Q_i, t \} , \{ q_i, P_i, t \} , \{ p_i, Q_i, t \} 또는 \{ p_i, P_i, t \} 중 하나이다.

목록[편집]

기본적으로 다음과 같은 네 종류의 모함수가 있다.

모함수의 꼴 모함수의 미분
1종 F= F_1(q_i, Q_i, t) \,\! p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i} , P_i = - \frac{\partial F_1}{\partial Q_i}
2종 F= F_2(q_i, P_i, t) - QP \,\! p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i} , Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i}
3종 F= F_3(p_i, Q_i, t) + qp \,\! q_i = - \frac{\partial F_3}{\partial p_i} ,  P_i = - \frac{\partial F_3}{\partial Q_i}
4종 F= F_4(p_i, P_i, t) + qp - QP \,\! q_i = - \frac{\partial F_4}{\partial p_i} ,  Q_i = \frac{\partial F_4}{\partial P_i}