푸아송 괄호

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푸아송 괄호(영어: Poisson braket)란 해밀턴 역학에서 쓰이는 중요한 연산자로, 어떤 물리량의 시간적 변화를 기술하는 데 중요한 역할을 하고 있다. 좀 더 일반적인 방법으로, 푸아송 괄호는 푸아송 다양체의 푸아송 대수를 정의하는 데 쓰인다. 위의 푸아송과 관련된 이름을 가진 것들은 모두 프랑스의 물리학자이자 수학자인 푸아송의 이름에서 따온 이름들이다.

[편집] 정의

일반화 좌표 $(q_i, \; p_i , \; t)$ 에서, 다음과 같은 두 함수 $F(q_i, \; p_i , \; t)$ , $G(q_i, \; p_i , \; t)$ 에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의된다.

$\{ F,\; G \} = \sum_i \left[ {\partial F \over \partial q_i} {\partial G \over \partial p_i} - {\partial F \over \partial p_i} {\partial G \over \partial q_i} \right]$

몇몇 경우에는 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하기도 하므로 유의하자.^[1]

$\{ F,\; G \} = \sum_i \left[ {\partial F \over \partial p_i} {\partial G \over \partial q_i} - {\partial F \over \partial q_i} {\partial G \over \partial p_i} \right]$

두 정의의 차이점은 서로 부호가 반대이다는 점 뿐이다. 여기서는 첫번째 정의를 사용하는 것으로 하자.

[편집] 성질

일반화 좌표 $(q_i, \; p_i , \; t)$ 에서, 다음과 같은 세 함수 $A(q_i, \; p_i , \; t)$ , $B(q_i, \; p_i , \; t)$ , $C(q_i, \; p_i , \; t)$ 에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같은 반대칭성을 가진다.

$\{ A, \; B \} = - \{ B, \; A \}$

또한 다음과 같은 야코비 항등식을 만족한다.

$\{A, \; \{B, \;C\}\} + \{B,\; \{C,\; A\}\} + \{C,\; \{A,\; B\}\} \ = \ 0$

일반화 좌표 $q i$ 와 일반화 운동량 $p i$ 사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립하며

$\{ p_i, \; q_j \} = \delta_{ij}$

$\{ p_i, \; p_j \} = \{ q_i, \; q_j \} = 0$

함수 $A(q_i, \; p_i , \; t)$ 와 일반화 좌표 $q i$ 와 운동량 $p i$ 사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립한다.

$\{ A, \; q_i \} = -{\partial A \over \partial p_i}$

$\{ A, \; p_i \} = {\partial A \over \partial q_i}$

[편집] 해밀턴 방정식과 푸아송 괄호

푸아송 괄호를 이용해 해밀턴 역학의 운동 방정식들을 나타낼 수 있다. 일반화 좌표 $(q_i, \; p_i , \; t)$ 에서의 해밀턴 방정식

$\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$

$\dot{q}_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i}$

은 푸아송 괄호를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\dot{p}_i = - \{H, \; p_i \}$

$\dot{q}_i = - \{H, \; q_i \}$

원래의 해밀턴 방정식에선 일반화 좌표 $q i$ 와 일반화 운동량 $p i$ 사이에 무언가 대칭성이 있음을 유추할 수 있지만, 부호가 달랐다. 하지만 푸아송 괄호를 통한 해밀턴 방정식에선 $q i$ 와 $p i$ 사이에 대칭성이 있음을 확인할 수 있다.

[편집] 운동상수와 푸아송 괄호

만약 어떤 동역학적 물리량 $F(q_i, \; p_i , \; t)$ 가 운동상수, 즉

${d F \over dt} = 0$

이라면 물리량이 시간에 대한 직접적인 함수가 아니며

${\partial F \over \partial t} = 0$

해밀토니안 $H$ 와 물리량 $F$ 의 푸아송 괄호가 0이 되어야 한다.

$\{H,\; F\} = 0$

이는, 맨 첫번째 방정식을 연쇄법칙을 이용해 전개하고 해밀턴 방정식을 대입하면 증명할 수 있다.

$\begin{align} 0 & = \frac {d}{dt} F(q_i,\; p_i) \\ & = \sum_i \left[ \frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {d q_i}{d t}+ \frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {d p_i}{dt} \right] \\ & = \sum_i \left[ \frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {\partial H}{\partial p_i} - \frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {\partial H}{\partial q_i} \right] \\ &= \{F,\; H\} \\ &= -\{ H, \; F \} \end{align}$

[편집] 물리량의 시간적 진화

어떤 동역학적 물리량 $F(q_i, \; p_i , \; t)$ 가 주어졌을 때, 위상공간에서 이 물리량의 시간에 따른 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac {d}{dt} F(q_i, \; p_i \; ,t) = \frac{\partial F}{\partial t} + \sum_i \left[ \frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {dq_i}{dt} + \frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {dp_i}{dt} \right]$

여기에 해밀턴 방정식 $\dot{q}_i={\partial H}/{\partial p_i}$ 와 $\dot{p}_i=-{\partial H}/{\partial q_i}$ 을 대입하면

$\begin{align} \frac {d}{dt} F(q_i,\; p_i ,\; t) & = \frac{\partial F}{\partial t} + \sum_i \left[ \frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {\partial H}{\partial p_i} - \frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {\partial H}{\partial q_i} \right] \\ &= \frac{\partial F}{\partial t} -\{H, \; F\} \end{align}$

이 된다. 따라서 물리량 $F$ 의 시간에 따른 진화는

$\frac{d}{dt} F= \left(\frac{\partial }{\partial t} - \{ H, \; \cdot \}\right)F$

와 같이 쓸 수 있다. 여기서 연산자 $-\{ H, \; \cdot \}$ 는 리우빌리안이라 불리기도 한다.

[편집] 같이 보기

[편집] 주석

↑ 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 318쪽.

[편집] 참고문헌

문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 317-9쪽.

[0] 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 318쪽.

[1]