뇌터 정리

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물리학에서, 뇌터 정리(Noether定理, 영어: Noether's theorem)란 어떤 미분가능한 한 물리계의 작용의 대칭성이 하나의 보존법칙에 대응된다는 것이다. 여기서 한 물리계의 작용이란 최소작용의 원리에 의해 결정되는 계의 행동으로부터 유도되는 한 라그랑지안 함수의 시간적분(또는 라그랑지안 밀도함수의 공간적분)이다.

뇌터 정리는 현대 이론 물리학과 변분법의 기본적인 도구이며, 라그랑주 역학으로 다룰 수 있는 모든 에 적용된다. 다만, 순수 라그랑주 역학으로 다룰 수 없는 계들도 존재한다. 예를 들어, 마찰이나 점성이 있는 계의 경우, 레일리 흩어지기 함수(Rayleigh dissipation function)를 사용하여야 한다. 이 경우, 연속적인 대칭이 존재하지만 이에 대응되는 보존 법칙이 존재하지 않을 수도 있다.

독일의 수학자 에미 뇌터가 1915년에 증명하고, 1918년 출판하였다.[1]

장론에서의 뇌터 정리[편집]

어떤 대칭에 의하여 장과 시공 좌표가 무한소의 대칭 변환에 대하여 다음과 같이 변환한다고 하자.

x'^\mu=x^\mu+\delta_\epsilon x^\mu
\phi'(x')=\phi(x)+\delta_\epsilon\phi(x)=\phi(x')+\delta_\epsilon\phi(x')-\partial_\mu\phi(x')\delta_\epsilon x^\mu(x')

만약 작용이 라그랑지언에 대하여 불변이라면, 라그랑지언의 변환은 어떤 벡터장의 발산이어야만 한다.

\mathcal L(\phi'(x),\phi'(x),x)-\mathcal L(\phi(x),\phi(x),x)=\partial_\mu(\epsilon J^\mu(x)-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L(x))

(만약 라그랑지언이 정확히 불변이라면 J=0이 된다.) 이제

\mathcal L(\phi'(x),\phi'(x),x)-\mathcal L(\phi(x),\phi(x),x)=\left(\frac{\partial L}{\partial\phi}+\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu
+\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\partial_\mu\partial_\nu
+\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho\phi)}\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho
+\cdots
\right)\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)
=\frac{\delta\mathcal L}{\delta\phi}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)
+\partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\right)
+\partial_\mu\left(\partial_\nu\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\right)
-\partial_\mu\left(\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}\right)
+\cdots

이다. 여기서

\frac{\delta\mathcal L}{\delta\phi}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}
+\partial_\mu\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
-\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\partial_\rho\phi)}
+\cdots

변분이다. 따라서,

\epsilon j^\mu=
J^\mu-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L
-\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)
-\partial_\nu\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\cdots
=J^\mu-\delta_\epsilon x^\mu\mathcal L
-\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)
-\partial_\nu\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon x^\mu\partial_\mu\phi\right)\partial_\nu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}
+\cdots

로 정의한다면

\epsilon\partial\cdot j=-\frac{\delta\mathcal L}{\delta\phi}\left(\phi'(x)-\phi(x)\right)

이 된다. 오일러-라그랑주 방정식을 따르는 경로의 경우 \delta\mathcal L/\delta\phi=0이므로, 이러한 경로에서는 j^\mu가 보존류를 이루며, 다음과 같은 보존량이 존재한다.

Q=\int j^0(x)\;d^3x

역학에서의 뇌터 정리[편집]

고전역학은 1차원 시공간 (=시간) 위의 고전장론으로 여길 수 있다. 이에 따라 역학에서의 뇌터 정리는 장론에서의 뇌터 정리의 특수한 경우이며,

\partial_\mu\mapsto\frac d{dt}
x^\mu\to t

로 치환하여 얻을 수 있다. 즉, 변환

q'(t')=q(t)+\delta_\epsilon q(t)
t'=t+\delta_\epsilon  t

에 대하여, 라그랑지언 L(q,\dot q,\ddot q,\dots,t)

L[q'(t),t]-L[q,t]=-\dot L\delta t+\epsilon\dot J

를 만족시킨다고 하자. 그렇다면 보존량

Q=J-\delta_\epsilon t\mathcal L
-\frac{\partial L}{\partial\dot q}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon t\dot q\right)
-\frac d{dt}\left(\delta_\epsilon q-\delta_\epsilon t\dot q\right)\frac{\partial\mathcal L}{\partial\ddot q}
+\left(\delta_\epsilon q-\delta_\epsilon t\dot q\right)\frac d{dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\ddot q}
+\cdots

\dot Q=-\frac{\delta L}{\delta q}\left(\delta_\epsilon\phi-\delta_\epsilon t\dot q\right)

이므로, 운동 방정식을 따르는 경로 q(t)에 대하여 보존된다.

뇌터 보존량의 예[편집]

흔히 쓰이는 대칭과 이에 대응하는 보존량은 다음과 같다.

대칭 보존류 보존량
시공간 병진 대칭 \delta x^\mu=\delta^\mu_\nu 에너지-운동량 텐서 T^\mu{}_\nu 4차원 운동량 (에너지, 운동량)
회전 대칭 \delta x^\mu=\delta^\mu_\nu x_\rho-\delta^\mu_\rho x_\nu 4차원 각운동량 밀도 T^\mu{}_\nu x_\rho-T^\mu{}_\rho x_\nu 4차원 각운동량 (3차원 각운동량 \mathbf L, 총 에너지와 질량 중심의 초기 위치의 곱[2] t\mathbf p-\mathbf x_{\text{com}}E)
확대 변환 \delta x^\mu=x^\mu 확대류[3] T^\mu{}_\nu x^\nu tE-\iiint dV\,\mathbf x\cdot \frac{d\mathbf p}{dV} (즉, E=\frac d{dt}\iiint dV\,\mathbf x\cdot d\mathbf p/dV)
특수 등각 변환 \delta x^\mu=x^2\delta^\mu_\nu-2x^\mu x_\nu T^\mu{}_\rho(x^2\delta^\rho_\nu-2x^\rho x_\nu)
전자기 U(1) 회전 (대전 스칼라장: \delta_\epsilon\phi=i\phi) 4차원 전류 밀도 j_\mu=\phi^*\partial_\mu\phi 전하
복소 페르미온 회전 \delta_\epsilon\psi=i\psi 페르미온 수 보존류 \bar\psi i\gamma^\mu\psi 페르미온 수
파동 함수 회전 \delta_\epsilon\Psi=i\Psi 확률류 (|\Psi|^2,\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^*)) 1 (=가능한 확률의 합)

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Noether, Emmy (1918년). Invariante Variationsprobleme. 《Nachrichten von der Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse》: 235–257. 번역 (영어) Noether, Emmy (1971년). Invariant variation problems. 《Transport Theory and Statistical Physics》 1 (3): 186-207. doi:10.1080/00411457108231446. arXiv:physics/0503066.
  2. (영어) Baez, John (2006년 3월 4일). Symmetry under boosts gives what conserved quantity?.
  3. (영어) Callan, Curtis G., Jr., Sidney Coleman, Roman Jackiw (1970년 7월). A new improved energy-momentum tensor. 《Annals of Physics》 59 (1): 42–73. doi:10.1016/0003-4916(70)90394-5.

같이 보기[편집]

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