뇌터 정리

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물리학에서, 뇌터 정리(Noether定理, Noether's theorem)란 어떤 미분가능한 한 물리계의 작용의 대칭성이 하나의 보존법칙에 대응된다는 것이다. 여기서 한 물리계의 작용이란 최소작용의 원리에 의해 결정되는 계의 행동으로부터 유도되는 한 라그랑지안 함수의 시간적분(또는 라그랑지안 밀도함수의 공간적분)이다.

뇌터 정리는 현대 이론 물리학과 변분법의 기본적인 도구이며, 라그랑주 역학으로 다룰 수 있는 모든 에 적용된다. 다만, 순수 라그랑주 역학으로 다룰 수 없는 계들도 존재한다. 예를 들어, 마찰이나 점성이 있는 계의 경우, 레일리 흩어지기 함수(Rayleigh dissipation function)를 사용하여야 한다. 이 경우, 연속적인 대칭이 존재하지만 이에 대응되는 보존 법칙이 존재하지 않을 수도 있다.

독일의 수학자 에미 뇌터가 1915년에 증명하고, 1918년 출판하였다.[1]

장론에서의 뇌터 정리[편집]

어떤 대칭에 의하여 마당과 시공 좌표가 다음과 같이 변환한다고 하자.

\phi\mapsto\phi+\epsilon\Phi
x^\mu\mapsto x^\mu+\epsilon X^\mu.

그렇다면 보존류는 다음과 같다.

j^\mu=-\frac{\delta\mathcal L}{\delta(\partial_\mu\phi)}\Phi+\left(\frac{\delta\mathcal L}{\delta(\partial_\mu\phi)}\partial_\nu\phi+\mathcal L\delta^\mu_\nu\right)X_\nu.

즉, 보존류 j^\mu는 다음과 같은 연속 방정식을 만족시킨다.

\partial_\mu j^\mu=0.

다시 말해, 다음과 같은 보존량이 존재한다.

Q=\int j^0(x)\;d^3x.

뇌터 보존량의 예제[편집]

흔히 쓰이는 대칭과 이에 대응하는 보존량은 다음과 같다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Noether, Emmy (1918년). Invariante Variationsprobleme. 《Nachrichten von der Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse》: 235–257. 번역 (영어) Noether, Emmy (1971년). Invariant variation problems. 《Transport Theory and Statistical Physics》 1 (3): 186-207. doi:10.1080/00411457108231446. arXiv:physics/0503066.
  2. (영어) Baez, John (2006년 3월 4일). Symmetry under boosts gives what conserved quantity?.
  3. (영어) Olver, Peter J. (1993). 《Applications of Lie Groups to Differential Equations》, Graduate Texts in Mathematics 107, 2판, Springer, 279쪽. ISBN 978-0-387-95000-6
  4. (영어) Callan, Curtis G., Jr., Sidney Coleman, Roman Jackiw (1970년 7월). A new improved energy-momentum tensor. 《Annals of Physics》 59 (1): 42–73. doi:10.1016/0003-4916(70)90394-5.
  • (영어) Forger, Michael, Hartmann Römer (2004년 2월). Currents and the energy-momentum tensor in classical field theory: a fresh look at an old problem. 《Annals of Physics》 309 (2): 306–389. doi:10.1016/j.aop.2003.08.011. arXiv:hep-th/0307199.