운동량

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

운동량 (運動量, momentum)은 물리학에서 물체의 속도질량에 관련된 물리량이다. 운동량의 국제 단위뉴턴 (N · s) 또는 킬로그램 미터 (kg · m/s)이고, 통상적인 기호는 라틴 소문자 p이다.

고전역학에서의 운동량[편집]

고전역학에서, 운동량은 질량속도의 곱인 벡터다. 즉, 운동량을 p, 질량을 m, 속도를 v라고 하면, 운동량은 다음과 같다.

\mathbf{p}= m \mathbf{v}

운동량 보존 법칙[편집]

만약 어떤 에 외부에서 힘이 가해지지 않는다면, 뉴턴의 운동법칙에 따라 계의 총 운동량은 바뀌지 않는다.

두 물체가 충돌할 때도, 두 물체의 운동량의 합은 일정하다. 즉, 두 물체의 질량을 m_1, m_2, 충돌 전의 속도를 \mathbf v_{1,i}, \mathbf v_{2,i}, 충돌 후의 속도를 \mathbf v_{1,f}, \mathbf v_{2,f}라고 하면 다음의 식이 성립한다.

m_1 \mathbf v_{1,i} + m_2 \mathbf v_{2,i} = m_1 \mathbf v_{1,f} + m_2 \mathbf v_{2,f} \,

이 때 e = \frac{v_{1,f} - v_{2,f}}{v_{2,i} - v_{1,i}}반발 계수라고 부르고, 0 이상 1 이하의 값을 가진다. 만약 e = 1인 경우의 충돌은 탄성 충돌이라고 부르고, 이 때에는 운동 에너지 보존 법칙, 즉

\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1  v_{1,i}^2
      + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,i}^2
      = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1  v_{1,f}^2
      + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,f}^2 \,

이 성립한다.

1차원 공간의 탄성 충돌에서, 두 물체의 속도는 다음과 같다.

 v_{1,f} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left( \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{2,i} \,


 v_{2,f} = \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right)  v_{2,i} \,

반면, e < 1인 경우는 비탄성 충돌(inelastic collision)이라고 하고, 특히 e = 0인 경우는 완전 비탄성 충돌이라고 부른다. 이 때에는 충돌한 두 물체의 속도차, 즉 입자 사이 상대 속도가 같다.

충격량[편집]

충격량은 어떤 시간 동안에 운동량의 변화이다. 이에 따라, 충격량의 단위는 운동량의 단위와 같다.

충돌 전후 두 물체가 주고받은 충격량의 합은 무조건 0이 된다. 뉴턴의 운동법칙에 따라 운동량의 시간에 따른 변화율이므로, 일정한 시간 t에 대한 힘 F에 대한 충격량 I

\mathbf{I} = \int \mathbf{F}\, dt

이다. 만약 힘의 세기나 방향이 시간에 따라 바뀌지 않으면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

\mathbf{I} = \mathbf{F} \cdot \Delta t

힘의 정의를 이 식에 다시 사용하면, 다음 식을 유도할 수 있다.

\mathbf{I} = \int \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, dt
\mathbf{I} = \int d\mathbf{p}
\mathbf{I} = \Delta \mathbf{p}

상대론적 운동량[편집]

특수 상대성 이론에서, 3차원의 운동량은 에너지와 함께 사차원 벡터를 이루는데, 이를 사차원 운동량이라고 부른다. 즉, 그 정의는 다음과 같다.

p^\mu=(E/c,\mathbf p).

여기서 E는 계의 총 에너지이며, p는 계의 상대론적 (3차원) 운동량이다.

E = γmc2.

상대론적 3차원 운동량은 정지 질량 m_0로런츠 인자 \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}, 속도 v의 곱이다. 즉,

p = γm0v = m0u .

여기서 \mathbf u=\gamma\mathbf v신속도이다.

광자등과 같이 정지 질량이 0인 입자도 운동량을 가진다. 정지 질량이 0인 입자의 경우, 에너지 E와 운동량 \mathbf p는 서로 비례한다. 즉

E/c=\lVert\mathbf p\rVert.

양자역학의 운동량[편집]

양자역학에서, 운동량은 파동함수에 대한 연산자이다. 불확정성 원리에 의하여, 입자의 운동량은 (입자의 위치에 대한 정보가 어느 정도 있는 한) 항상 어느 정도의 불확정성을 갖는다.

전하스핀이 없는 입자의 운동량 연산자는 다음과 같다.

\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla.

여기서,

같이 보기[편집]