운동량

고전역학

$\vec{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \vec{v})$ 뉴턴의 운동 제 2 법칙

고전역학의 역사 기본 개념 공간 · 시간 · 질량 · 힘 · 에너지 · 운동량 공식 뉴턴 역학 라그랑주 역학 해밀턴 역학 분과 정역학 동역학 운동학 응용 역학 천체 역학 연속체 역학 과학자 아이작 뉴턴 레온하르트 오일러 장 르 롱 달랑베르 알렉시스 클레로 조제프루이 라그랑주 피에르시몽 라플라스 윌리엄 로원 해밀턴 시메옹 드니 푸아송

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운동량 (運動量, momentum)은 물리학에서 물체의 속도와 질량에 관련된 물리량이다. 운동량의 국제 단위는 뉴턴 초 (N · s) 또는 킬로그램 미터 매 초 (kg · m/s)이고, 통상적인 기호는 라틴 소문자 p이다.

고전역학에서의 운동량

고전역학에서, 운동량은 질량과 속도의 곱인 벡터다. 즉, 운동량을 p, 질량을 m, 속도를 v라고 하면, 운동량은 다음과 같다.

$\mathbf{p}= m \mathbf{v}$

운동량 보존 법칙

만약 어떤 계에 외부에서 힘이 가해지지 않는다면, 뉴턴의 운동법칙에 따라 계의 총 운동량은 바뀌지 않는다.

두 물체가 충돌할 때도, 두 물체의 운동량의 합은 일정하다. 즉, 두 물체의 질량을 $m_1$, $m_2$, 충돌 전의 속도를 $\mathbf v_{1,i}$, $\mathbf v_{2,i}$, 충돌 후의 속도를 $\mathbf v_{1,f}$, $\mathbf v_{2,f}$라고 하면 다음의 식이 성립한다.

$m_1 \mathbf v_{1,i} + m_2 \mathbf v_{2,i} = m_1 \mathbf v_{1,f} + m_2 \mathbf v_{2,f} \,$

이 때 $e = \frac{v_{1,f} - v_{2,f}}{v_{2,i} - v_{1,i}}$를 반발 계수라고 부르고, 0 이상 1 이하의 값을 가진다. 만약 e = 1인 경우의 충돌은 탄성 충돌이라고 부르고, 이 때에는 운동 에너지 보존 법칙, 즉

$\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1 v_{1,i}^2 + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,i}^2 = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1 v_{1,f}^2 + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,f}^2 \,$

이 성립한다.

1차원 공간의 탄성 충돌에서, 두 물체의 속도는 다음과 같다.

$v_{1,f} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left( \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{2,i} \,$

$v_{2,f} = \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{2,i} \,$

반면, e < 1인 경우는 비탄성 충돌(inelastic collision)이라고 하고, 특히 e = 0인 경우는 완전 비탄성 충돌이라고 부른다. 이 때에는 충돌한 두 물체의 속도차, 즉 입자 사이 상대 속도가 같다.

충격량

이 부분의 본문은 충격량입니다.

충격량은 어떤 시간 동안에 운동량의 변화이다. 이에 따라, 충격량의 단위는 운동량의 단위와 같다.

충돌 전후 두 물체가 주고받은 충격량의 합은 무조건 0이 된다. 힘은 뉴턴의 운동법칙에 따라 운동량의 시간에 따른 변화율이므로, 일정한 시간 t에 대한 힘 F에 대한 충격량 I는

$\mathbf{I} = \int \mathbf{F}\, dt$

이다. 만약 힘의 세기나 방향이 시간에 따라 바뀌지 않으면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\mathbf{I} = \mathbf{F} \cdot \Delta t$

힘의 정의를 이 식에 다시 사용하면, 다음 식을 유도할 수 있다.

$\mathbf{I} = \int \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, dt$

$\mathbf{I} = \int d\mathbf{p}$

$\mathbf{I} = \Delta \mathbf{p}$

상대론적 운동량

이 부분의 본문은 사차원 운동량입니다.

특수 상대성 이론에서, 3차원의 운동량은 에너지와 함께 사차원 벡터를 이루는데, 이를 사차원 운동량이라고 부른다. 즉, 그 정의는 다음과 같다.

$p^\mu=(E/c,\mathbf p)$.

여기서 E는 계의 총 에너지이며, p는 계의 상대론적 (3차원) 운동량이다.

E = γmc².

상대론적 3차원 운동량은 정지 질량 $m_0$과 로런츠 인자 $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$, 속도 $v$의 곱이다. 즉,

p = γm₀v = m₀u .

여기서 $\mathbf u=\gamma\mathbf v$는 신속도이다.

광자등과 같이 정지 질량이 0인 입자도 운동량을 가진다. 정지 질량이 0인 입자의 경우, 에너지 $E$와 운동량 $\mathbf p$는 서로 비례한다. 즉

$E/c=\lVert\mathbf p\rVert$.

양자역학의 운동량

양자역학에서, 운동량은 파동함수에 대한 연산자이다. 불확정성 원리에 의하여, 입자의 운동량은 (입자의 위치에 대한 정보가 어느 정도 있는 한) 항상 어느 정도의 불확정성을 갖는다.

전하와 스핀이 없는 입자의 운동량 연산자는 다음과 같다.

$\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla$.

여기서,

• $\nabla$는 기울기 연산자이다.
• $\hbar$는 플랑크 상수이다.
• $i = \sqrt{-1}$은 허수 단위이다.

같이 보기

• 각운동량