신속도

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특수상대성이론에서, 신속도(迅速度, rapidity)는 물체의 빠르기를 나타내는 물리량이다. 속도와 비슷한 개념인데, 물체가 느릴 때는 속도와 신속도가 대략 비례하지만, 매우 빠를 때는 더 이상 비례하지 않는다. 입자의 최대 속력은 빛의 속력으로 유한하지만, 신속도는 상한선이 없다. 또한, 속도와는 달리, 두 신속도의 합성은 단순히 그 합이다.

정의[편집]

신속도 \phi는 다음과 같이 속력 v쌍곡각이다.

\phi = \operatorname{artanh}(v/c).

여기서, c빛의 속력이다. v가 빛의 속력에 비하여 매우 작으면

\phi\gtrsim v/c

이어, 둘이 대략 비례하게 된다. 하지만 v가 빛의 속력에 가까우면

\phi\lesssim\frac12\log\frac{2c}{c-v}

가 되어, 더 이상 비례하지 않는다. v\to c인 극한에는 \phi\to\infty인 것을 알 수 있다.

로런츠 변환의 기하학적 의미[편집]

상대속도 v로 움직이는 두 좌표계

로런츠 변환은 신속도를 사용하면 그 의미가 더 명확해진다. 상대속도 v 로 움직이는 두 관측자 O(t, x, y, z) 와 O'(t', x', y', z') 에 대한 로런츠 변환은 다음과 같다.


\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta \gamma&0&0\\
-\beta \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}

여기서, β = \scriptstyle \frac{v}{c} , γ = \scriptstyle \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} 이다. 이 변수들을 신속도를 사용해 쓰면 β = tanh φ , γ = cosh φ 가 된다. 이를 로런츠 변환식에 대입하자.


\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cosh \phi & -\sinh \phi &0&0\\
-\sinh \phi & \cosh \phi &0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix} = {\Lambda^\mu}_\nu (\phi) \;x^\nu

위 결과로부터 위 변환은 c2t2 - x2 가 변하지 않는 변환임을 알 수 있다. 즉, 로런츠 변환은 ct-x 평면상의 일종의 쌍곡회전변환이고, 그 매개변수인 쌍곡각이 신속도이다.

속도 더하기[편집]

두 속도를 더했을 때 나오는 속도, 간단히 덧셈으로 더한 만큼 (빨간 선) 보다 더 빠른 속도가 나온다.

특수상대성이론에서는, 같은 방향의 두 속도 u, v 를 더하면 u + v 처럼 간단하게 나오지 않는다. 더해진 속도 w 는 다음과 같다.

w = \frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}

위 식을 각 속도의 신속도 φu , φv , φw 로 써보자.

\tanh \phi_w = \frac{\tanh \phi_u + \tanh \phi_v}{1+\tanh \phi_u \tanh \phi_v}

오른쪽의 식은 쌍곡탄젠트함수의 합 공식을 활용하면 tanh (φu + φv) 가 되고, 즉

\phi_w = \phi_u + \phi_v \;

가 된다. 즉, 특수상대성이론에서는 속도가 아니라 신속도가 우리의 직관과 같은 간단한 합 공식을 가짐을 알 수 있다.

로런츠 군[편집]

로런츠 변환들은 을 이룬다. 먼저, 신속도가 0인 로런츠 변환은 항등원이 된다.

{\Lambda^\mu}_\nu(0) = {\delta^\mu}_\nu

회전변환과 마찬가지로, 로런츠 변환을 두 번 하면, 두 각의 크기를 합친 만큼 로런츠 변환을 한 것과 같은 결과가 나온다.

{\Lambda^\mu}_\rho (\phi_1) {\Lambda^\rho}_\nu (\phi_2) = {\Lambda^\mu}_\nu (\phi_1 + \phi_2)

로런츠 변환의 역변환도 로런츠 변환이다.

{{\Lambda^{-1}}^\mu}_\nu(\phi) = {\Lambda^\mu}_\nu(-\phi)

결합법칙 또한 두 번째 식으로부터 쉽게 유도할 수 있다. 그러므로, 로런츠 변환을 모아놓은 집합은 군이 된다. 로런츠 변환을 신속도로 대응시키는 사상이 이 군과 실수의 덧셈군 (R, +) 이 동형사상이 되고, 이 때문에 로런츠 변환을 모아놓은 군은 리군이 된다.

각 방향의 로런츠 변환들과 회전변환, 경우에 따라선 반사시간역전을 모두 모아놓으면 - c2t2 + x2 + y2 + z2 를 일정하게 해주는 변환들의 집합이 되는데 이 또한 군을 이루게 되고 이 군을 로런츠 군이라 한다.

참고 문헌[편집]

  • Nicholas M.J. Woodhouse (2003). 《Special Relativity》. Springer