관성 모멘트의 목록

다음은 관성 모멘트와 단면 이차 모멘트의 목록이다.

관성 모멘트

관성 모멘트는 질량 × 길이² 의 차원을 갖는다. 다음의 목록은 한 알갱이(질점)에 대한 관성 모멘트 $\int r^2\,dm$로부터 유도되었다.

설명	그림	관성 모멘트	비고
반지름이 $r$이고 질량이 $m$인 속이 빈 위 아래로 뚫려있는 원기둥		$I = m r^2 \,$	—
안쪽 반지름이 $r_1$, 바깥 반지름이 $r_2$이고 질량이 $m$인 두꺼운 원기둥		$I_z = \frac{1}{2} m({r_2}^2 + {r_1}^2)$ $I_x = I_y = \frac{1}{12} m[3({r_2}^2 + {r_1}^2)+h^2]$ 또는 $t_n = \frac{t}{r}$이고 $r = r_2$라고 하면 $I_z = mr^2(1-t_n+\frac{1}{2}t_n^2)$	—
반지름 $r$, 높이 $h$, 질량 $m$인 원기둥		$I_z = \frac{1}{2} mr^2$ $I_x = I_y = \frac{1}{12} m(3r^2+h^2)$	—
반지름 $r$, 질량 $m$인 얇은 원판		$I_z = \frac{1}{2} mr^2$ $I_x = I_y = \frac{1}{4} mr^2$	—
반지름 $r$, 질량 $m$인 구		$I = \frac{2}{5} mr^2$	—
반지름 $r$, 질량 $m$인 구 껍질		$I = \frac{2}{3} mr^2$	—
반지름 $r$, 높이 $h$, 질량 $m$인 직원뿔		$I_z = (3/10)mr^2 \,\!$ $I_x = I_y = (3/5)m(r^2/4+h^2) \,\!$	—
높이 $h$, 너비 $w$, 깊이 $d$, 질량 $m$인 직육면체		$I_h = \frac{1}{12} m(w^2+d^2)$ $I_w = \frac{1}{12} m(h^2+d^2)$ $I_d = \frac{1}{12} m(h^2+w^2)$	모서리 길이 $s$, 질량 $m$인 정육면체의 경우, $I_{CM} = \frac{1}{6} ms^2$.
길이 $L$, 질량 $m$인 막대		$I_{center} = \frac{1}{12} mL^2$	무한한 길이의 가느다란 선(강체)에 질량이 분포되어 있다고 가정한 근사값임.
길이 $L$, 질량 $m$인 막대		$I_{end} = \frac{1}{3} mL^2$	무한한 길이의 가느다란 선(강체)에 질량이 분포되어 있다고 가정한 근사값임.
반지름 $a$, 단면 반지름 $b$, 질량 $m$인 원환체(토러스)		지름에 대해서: $\frac{1}{8}(4a^2 + 5b^2)m$ 수직축에 대해서: $(a^2 + \frac{3}{4}b^2)m$	—
꼭지점이 $\vec{P}_{1}$, $\vec{P}_{2}$, $\vec{P}_{3}$, ..., $\vec{P}_{N}$, 질량 $m$인 얇은 다각형 판		$I=\frac{m}{6}\frac{\sum_{n=1}^{N}||\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}||(\vec{P}^{2}_{n+1}+\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n}+\vec{P}_{n}^{2})}{\sum_{n=1}^{N}||\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}||}$	—

단면 이차 모멘트

단면 이차 모멘트는 길이⁴ 의 차원을 갖는다. 아래는 따로 이야기하지 않는 한, 도심(또는 질량중심)을 지나는 수평축에 대한 단면 이차 모멘트의 목록이다.

설명	그림	단면 이차 모멘트	비고
반지름 $r \,$인 원		$I_0 = \pi r^4/4 \,$
안쪽 반지름 $r_1$, 바깥쪽 반지름 $r_2$인 가운데가 빈 원		$I_0 = \frac{1}{4} \pi({r_2}^4-{r_1}^4)$
단면의 도심과 원의 중심을 지나는 수평축에 대해 각도 $\theta \,$(라디안), 반지름 $r \,$인 원호		$I_0 = \left(\theta -\sin\theta\right)\frac{r^4}{8} \,$
반지름 $r \,$인 반원		$I_0 = \left(\frac{\pi}{8} - \frac{8}{9\pi}\right)r^4 \,$	단면의 도심을 지나는 축에 대한 값.
반지름 $r \,$인 반원		$I = \pi r^4/8 \,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리에 의해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리는 $4r/3\pi \,$).
반지름 $r \,$인 반원		$I_0 = \pi r^4/8 \,$	단면의 도심을 지나는 수직축에 대한 값.
반지름 $r \,$이고 1사분면에 놓여 있는 사분원		$I = \pi r^4/16 \,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
반지름 $r \,$이고 1사분면에 놓여 있는 사분원		$I_0 = \left(\frac{\pi}{16}-\frac{4}{9\pi}\right)r^4 \,$	단면의 도심을 지나는 수평 또는 수직축에 대한 값. 평행축 정리에 의해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리는 $4r/3\pi \,$).
x 반지름 $a \,$, y 반지름 $b \,$인 타원		$I_0 = \pi ab^3/4 \,$
너비 $b \,$, 높이 $h \,$인 직사각형		$I_0 = bh^3/12 \,$
너비 $b \,$, 높이 $h \,$인 직사각형		$I = bh^3/3 \,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
밑변 $b \,$, 높이 $h$인 삼각형		$I_0 = bh^3/36 \,$
밑변 $b \,$, 높이 $h$인 삼각형		$I = bh^3/12 \,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 $h/3 \,$).
한 변의 길이가 $a \,$인 육각형		$I_0 = 5\sqrt{3}a^4/16 \,$	단면의 도심을 지나는 임의의 수직축, 수평축에 대해서 동일하다.