단면 이차 모멘트

단면 이차 모멘트(斷面二次 - ) 또는 단면의 관성모멘트(area moment of inertia), 또는 간단히 관성모멘트(moment of inertia)는 휨 또는 처짐에 대한 저항을 예측하는 데 사용되는 단면의 성질을 뜻한다. 비틀림에 대한 저항을 나타내는 극 관성 모멘트와 비슷하다. 탄성 계수를 E라 할 때, EI를 휨강성이라고 하는데, 휨강성이 큰 부재는 구조적으로 안전하다.

단면 이차 모멘트는 각가속도를 계산하는 데 쓰이는 관성모멘트와는 다르다. 공학에서는 보통 단면 이차 모멘트를 관성모멘트라고 부르며 기호도 $I$ 로 같게 사용한다. 어떠한 관성(가속도인지 휨인지)에 대한 것인지는 문맥에서나 단위를 확인하면 된다. 정다각형의 도심을 지나는 축에 대한 단면 이차 모멘트는 축의 회전에 상관없이 모두 동일한 값을 가진다.

정의[편집]

I_{x}=\int _{A}y^{2}dA

I_{y}=\int _{A}x^{2}dA

x - y 축에서부터 면적 요소 도심까지 수직 거리
I_x - x 축에 대한 단면 이차 모멘트
dA - 면적 요소
y - x 축에서부터 면적 요소 도심까지 수직 거리
I_y - y 축에 대한 단면 이차 모멘트
dA - 면적 요소

단위[편집]

단면 이차 모멘트는 국제 단위로 네제곱 미터(m⁴)를 사용한다. 야드파운드법과 미국 단위계에서는 네제곱 인치(in.⁴)도 사용된다.

합성 단면의 단면 이차 모멘트[편집]

합성 단면의 단면 이차 모멘트는

I_{xx}=\Sigma \ y^{2}A+I_{local}

로 주어진다. 단, 이 공식은 단면이 x 축에 대해 대칭일 경우에 적용하며, 그렇지 않은 경우에 xx, yy 및 xy축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같다.

I_{yy}=\Sigma \ x^{2}A+I_{local}

I_{xy}=\Sigma \ yxA

A - 해당 부분의 단면적

$I_{local}$ 은 합성 단면 중 해당 부분의 단면 이차 모멘트이다.

평행축 정리[편집]

중립축과 평행한 임의의 축 x'에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같이 주어진다.

I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}

I_x' - x' 축에 대한 단면 이차 모멘트
I_x - x' 축과 평행하고 단면의 도심을 지나는 축 x에 대한 단면 이차 모멘트 (중립축과 일치)
A - 단면의 넓이
d - 축 사거리

대표적인 도형에 대한 단면 이차 모멘트[편집]

I₀는 도심을 지나는 축에 대한 단면 이차 모멘트, I는 도심을 지나는 축에 평행한 축에 대한 단면 이차 모멘트라고 하면,

설명	단면 이차 모멘트	비고
반지름 $r\,$ (지름 D)인 원	$I_{0}=\pi r^{4}/4=\pi D^{4}/64$
너비 $b\,$ , 높이 $h\,$ 인 직사각형	$I_{0}=bh^{3}/12\,$
너비 $b\,$ , 높이 $h\,$ 인 직사각형	$I=bh^{3}/3\,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
밑변 $b\,$ , 높이 $h$ 인 삼각형	$I_{0}=bh^{3}/36\,$
밑변 $b\,$ , 높이 $h$ 인 삼각형	$I=bh^{3}/12\,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 $h/3\,$ ).

들보의 응력[편집]

들보의 오일러-베르누이 들보 방정식은 다음과 같다.

{\sigma }={\frac {M}{I_{x}}}y

σ - 휨 응력
M - 단면에 가해지는 휨모멘트
y - 단면 중립축으로부터 휨응력을 구하고자 하는 지점까지 수직거리
I_x - 중립축(x 축)에 대한 단면 이차 모멘트

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

전찬기, 이종헌, 정환호, 김운학, 김경진 (2015). 《토목기사 과년도 시리즈 응용역학》. 성안당. 78, 84-85, 87쪽. ISBN 978-89-315-6807-3. CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
Gere, Goodno. 《SI 재료역학》 8판. 센게이지 러닝 코리아.

외부 링크[편집]

보일러 엔지니어링 블로그 - 단면 이차모멘트와 단면계수