관성모멘트

이 문서는 회전운동과 관련된 관성모멘트에 관한 것입니다. 휨과 관련된 단면의 관성 모멘트에 대해서는 단면 이차 모멘트 문서를 참조하십시오.

관성모멘트 (慣性-)는 물체가 자신의 회전운동을 유지하려는 정도를 나타내는 물리량으로서, 직선운동에서의 질량에 대응되는 양이다. 주로 대문자 $I$로 표기하며, 간혹 $J$로 나타내기도 한다. 관성모멘트는 회전운동에서 매우 중요한 역할을 차지하는데, 관성모멘트를 통해서 회전운동을 기술하는 데 꼭 필요한 각운동량, 각속도. 각가속도, 돌림힘들 사이의 관계를 이어주는 물리량이기 때문이다.

관성모멘트를 표현하는 방법에는 두가지, 스칼라로 나타내는 스칼라 관성모멘트와 더 고등의 텐서로 나타내는 관성모멘트 텐서, 간단히 관성텐서(inertia tensor)를 사용한 표현이 있다. 보통 스칼라 관성모멘트를 간단히 관성모멘트라 하기도 한다. 간단한 회전의 경우에는 복잡한 관성텐서보다 스칼라 관성모멘트만으로도 각 물리량 사이의 관계를 충분히 기술할 수 있다. 하지만 스칼라 관성모멘트는 회전하는 팽이나 자이로스코프와 같이 복잡한 회전에 대한 물리량 사이의 관계를 기술하지 못하기 때문에, 이러한 경우에는 관성텐서를 사용해 각 물리량 사이의 관계를 기술한다.

최초로 관성모멘트란 개념을 사용한 사람은 오일러이다. 그가 1730년에 발표한 책 Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum에서 관성모멘트란 개념이 최초로 등장하고, 관성모멘트의 주축과 같은 이와 관련된 여러 개념들이 이 책을 통해 발표되었다.

개요

관성모멘트는 어떤 물체가 주어진 축을 중심으로 일어나는 회전운동을 변화시키기 어려운 정도를 나타내는 물리량이기도 하다. 예를 들어, 두개의 질량이 같지만 반지름이 다른 원판 A와 B를 생각해보자. A가 반지름이 더 크고, 둘 모두 질량분포가 균일하다 가정하자. A는 더 큰 원판이기 때문에, 같은 각속도로 돈다면 바깥쪽은 B보다 훨씬 더 빠르게 움직이게 된다. 때문에, A를 돌리는 것이 B를 돌리는 것보다 어렵다. 이러한 두 원판의 특성을 설명해주는 물리량이 관성모멘트이다. 이 경우, A의 관성모멘트는 B보다 크게 된다.

다이빙 선수들은 회전을 최대한 빠르게 하기 위해 몸을 움츠린다.

텐서형태에는 두 종류가 있다. 스칼라 형태는 간단한 경우에 주로 사용된다. 예를 들어, 도르래와 같이 회전축이 고정되어 있는 물체는 스칼라 형태를 사용하면 간단히 물리량 사이의 관계를 기술할 수 있다. 하지만, 회전축이 변하는 운동과 같은 복잡한 경우엔 각운동량 벡터와 각속도 벡터가 평행하지 않는 등 스칼라로 이 둘 사이의 관계를 기술하는게 불충분하기 때문에 텐서형태를 사용한다. 이러한 경우의 예로 자이로스코프, 팽이, 인공위성의 운동이 있다.

기계공학자들은 단면 이차 모멘트와 관성모멘트를 구별하기 위해 이를 질량관성모멘트(mass moment of inertia)라 부르기도 한다. 이 둘을 구별하는 가장 쉬운 방법은 단위를 비교하는 것이다. 덧붙여 말하면, 관성모멘트는 물체가 비틀림에 저항할 수 있는 능력을 나타내는 극관성모멘트와도 헷갈리지 않도록 주의해야 한다.

스칼라 관성모멘트

정의

어떤 주어진 축을 중심으로 회전하는 점질량에 대한 스칼라 관성모멘트는 다음과 같이 정의된다.

$I = m r^2$

여기서

$m$ : 질량

$r$ : 회전축으로부터 점질량 까지의 거리

이다. 또한 같은 축을 중심으로 회전하는 n개의 점질량들에 대해서 총 관성모멘트는 각 점질량들의 관성모멘트의 합이 된다.

$I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \cdots + m_n r_n^2 = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2$

점질량들이 아닌 임의의 질량이 공간에 밀도 $\rho(\mathbf{r})$을 따라 분포되어 있을 때에는, 각 질점에 대한 합을 적분으로 바꾸어 주고 다음과 같이 스칼라 관성모멘트를 정의할 수 있다.

$I = \int r^2\,dm = \iiint_V r^2 \rho(\mathbf{r}) \, dV$

차원분석

차원분석을 통해 관성모멘트의 식을 간단히 유추해보면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$I = k \cdot m \cdot {r}^2 \,\!$

여기서,

$m$ : 질량

$r$ : 질량중심으로부터 회전축 까지의 거리 또는 물체의 반지름과 같은 물체의 길이를 특정지어주는 길이.

$k$ : 관성상수(inertia constant), 물체의 종류에 따라 값이 바뀐다.

이다. 관성상수는 물체 내부에서의 질량의 배치에 따라 바뀌는 값이다. 몇가지 예를 들어보면 다음과 같다.

• $k=1$ : 두께가 매우 얇은 원통, $r$은 원통의 반지름
• $\textstyle k=\frac{2}{5}$ : 꽉 찬 구, $r$은 구의 반지름
• $\textstyle k=\frac{1}{2}$ : 속이 꽉 찬 원통 또는 원판, $r$은 원통 또는 원판의 반지름

더 많은 경우의 관성상수의 값은 관성모멘트의 목록에 있다.

평행축 정리

이 부분의 본문은 평행축 정리입니다.

한번 어떤 물체의 질량중심을 관통하는 회전축에 대한 관성모멘트를 구하면, 그와 평행한 회전축을 갖는 회전을 하는 물체의 관성모멘트는 복잡한 계산 없이 아래와 같은 식을 통해 간단히 구할 수 있다.

$I = I_{\textrm{cm}} + md^2$

여기서

$\textstyle I_{\textrm{cm}}$ : 질량중심을 관통하는 회전축에 대한 관성모멘트

$m$ : 질량

$d$ : 두 회전축 사이의 거리

이다.

관성텐서

어떤 물체에 대한 스칼라 관성모멘트는 회전축에 관계되는 값이다. 때문에 같은 물체일지라 하더라도 회전축이 달라지면 관성모멘트의 값이 바뀌게 된다. 게다가 회전축이 계속 변하면 이를 기술하기 더욱 어렵게 된다. 일반적으로, 모든 경우에 대해 전부 관성모멘트의 값이 같으려면, 모든 축에 대해 물체가 대칭이 되어야 한다. 하지만 관성모멘트 텐서, 관성텐서를 사용하면 이를 하나로 간단히 나타낼 수 있다. 관성텐서는 아무 기준점에 대해서나 계산할 수 있지만, 주로 질량중심을 기준으로 해서 계산된 것이 주로 쓰인다.

정의

관성텐서 $\mathbf{I}$는 계수가 2인 대칭텐서, 즉, 2계 대칭텐서로 점질량 $m_k$들로 구성된 강체의 경우 관성텐서의 직교좌표계에서의 성분은 다음과 같이 정의한다.

$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix}$

$I_{ij} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_k m_{k} (r_k^{2}\delta_{ij} - r_{ki}r_{kj})\,\!$

여기서

$i$, $j$ : x, y, 또는 z좌표를 나타내는 지표, 순서대로 1, 2, 3에 대응된다.

$\mathbf{r}_k$ : 어떤 기준점으로부터 $k$번째 점질량까지의 방향벡터.

$\delta_{ij}$ : 크로네커 델타

이다. 대각항은 아래와 같이 간단히 쓸 수도 있다.

$I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (y_{k}^{2}+z_{k}^{2})$

$I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+z_{k}^{2})$

$I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+y_{k}^{2})$

관성의 곱(products of inertia)이라 불리기도 하는 비대각항들은 아래와 같이 쓰기도 한다.

$I_{xy} = I_{yx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} y_{k}$

$I_{xz} = I_{zx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} z_{k}$

$I_{yz} = I_{zy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} y_{k} z_{k}$

여기서 $I_{xx}$는 x축을 기준으로 하며 x축을 중심으로 회전하는 경우의 관성모멘트, $I_{xy}$는 y축을 기준으로 하며 x축을 중심으로 회전하는 경우의 관성모멘트 등등을 말한다.

함께 읽기

• 관성모멘트의 목록
• 돌림힘

바깥 고리

• http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/torque/Q.torque.inertia.html,
• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html