파동함수

	양자역학
	주요 개념
	파동함수 · 물질파 · 간섭; 불확정 원리 · 배타 원리; 변환 이론 · 결풀림; 대응 원리 · 측정; 중첩 · 양자얽힘· 상호보완성 · 제만 효과
	실험
	이중 슬릿 실험; 데이비슨 거머 실험; 슈테른-게를라흐 실험; 벨 부등식; 포퍼 실험; 슈뢰딩거의 고양이
	방정식
	슈뢰딩거 방정식; 파울리 방정식; 클라인 고든 방정식; 디락 방정식
	고등 이론
	밀도범함수이론; 섭동이론; 양자 마당 이론; 위트만 공리; 양자전기역학; 양자 색역학; 양자 중력; 파인만 도표
	해석
	코펜하겐 · 앙상블; 숨은 변수 · 트랜색션; 다세계 · EPR 역설
	과학자
	플랑크 · 슈뢰딩거; 하이젠베르크 · 보어 · 파울리; 디락 · 봄 · 보른; 드브로이 · 폰 노이만; 아인슈타인 · 파인만; 에버렛 · 펜로즈
	응용
	양자 컴퓨터; NMR(핵자기공명)
	이 상자를: 보기 • 토론 • 편집

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

이동: 둘러보기, 찾기

양자역학에서 파동함수(wavefunction)는 어떤 계의 상태나 정보를 담고 있는 함수이다. 양자역학의 가설에 따르면, 어떤 계의 파동함수를 알게 되면 그 계의 정보를 전부 알 수 있게 된다. 고전적인 파동 이론에서부터 도입되었기에 파동함수라 불리지만, 실제로 고전적인 파동에 대응되는 것은 아니다. 보른 해석에 따르면 파동함수의 절대값을 제곱하면 어떤 입자가 특정 시간에 특정 위치에 존재할 확률밀도함수가 된다. 수학적으로는 복소공간인 힐버트 공간의 벡터로 나타난다.

[편집] 개관

드 브로이는 움직이는 물체는 경우에 따라 파동성을 띈 것처럼 행동하며, 입자가 파동처럼 행동하려면 입자는 파장과 진동수를 가져야 한다고 하였다. 이후 그의 가설은 하이젠베르크(Heisenberg), 슈뢰딩거(schrodinger), 디락(Dirac), 보른(Born) 등에 의해 양자역학이라는 이론으로 발전하게 된다. 이 파동함수의 값이 의미하는 것이 무엇인가에 대해 드브로이를 비롯한 많은 물리학자들이 논란을 벌였다. 물질파를 주창한 드브로이는 그 파동량 자체가 바로 입자 그 자체, 즉 그 입자의 밀도인 것으로 생각하였으나 많은 논란을 거친 후 보른(M. Born)의 생각이 정당한 것으로 믿어지게 되었다. 보른의 해석에 의하면, 파동함수의 파동량은 그 크기의 제곱이 바로 그 지점, 그 시간에서 입자를 발견할 확률에 비례 한다.

[편집] 역사

[편집] 드브로이의 물질파에 대한 해석

드브로이는 전자의 궤적을 안내하는 어떤 파동이 존재한다고 주장했다. 전자가 핵 주위를 돌 때 그것이 따라가야 하는 길을 잡아주는 파동이다. 이 파동은 드브로이의 물질파에 관한 식에서 볼 수 있듯이 전자의 질량과 속도에 의해 결정된다. 만약 전자가 이러한 파동에 의해 이끌어진다면 공간에 있는 보통 입자들 역시 파동에 의해 이끌어 질것이며, 따라서 모든 물질은 이러한 파동을 가진다고 보았다.

[편집] 슈뢰딩거의 해석

슈뢰딩거는 드 브로이가 제안한 물질의 파동성을 너무 급진적으로 해석하여 물리적 사물들이 일종의 거품일 뿐이라고 주장하기도 했다. 그는 파동성이 물질의 실체적 속성이고 입자성은 단지 부수적 현상에 불과하다고 생각했다. 물리적 사건들은 근본적으로 파동현상이고 따라서 물리학은 파동현상을 기술하고, 그것을 지배하는 법칙을 발견하는데 치중해야 한다고 보았다. 이런 동기에서 슈뢰딩거는 파동현상들이 따르는 법칙을 탐구하기 시작했고 1926년에 물질파의 거동을 지배하는 방정식을 발견하게 되는데 이것이 바로 슈뢰딩거 방정식이다. 이것은 파동성을 지닌 물질의 운동방정식으로써 슈뢰딩거 방정식을 풀면 파동성을 지닌 물질의 파동적 성격을 기술해 주는 함수를 얻을 수 있고 이것을 파동함수라고 한다. 슈뢰딩거의 방정식에서 미지항은 파동함수이고 이 방정식을 풀면 파동함수를 얻을 수 있다.

슈뢰딩거는 후에 파동함수가 3차원 실제 공간에서 펄럭이는 함수가 아니라 배위공간에서 펄럭이며 움직이는 함수라고 주장하였다. 이것은 물리적 사물들이 시공간 속에서 이리저리 움직인다는 관념자체를 포기하는 것이고 이는 우리의 사유방식 속에서 거의 불가능하다고 생각했다.

그는 네 번째 논문에 시간의존적 파동방정식(time-dependent wave equation)을 수록하였다. 시간의존적 파동방정식이란 시간에 따라 변화하는 물리계의 파동함수가 만족해야 하는 방정식이다. 슈뢰딩거는 이 논문에서 파동함수가 본질적으로 복소수를 포함하고 있음을 비로서 깨달았다.

복소수가 포함된 파동함수를 해석하는 가장 쉬운 방법은 파동함수의 절대값의 제곱 $| ψ | 2$ 이 무엇을 가리키는지 해석하는 것이다. 그 이유는 파동함수에 절대값을 취하면 허수부분이 사라지기 때문이다. 파동함수의 절대값의 제곱은 공간 전체에 퍼져있고, 시간이 진행됨에 따라 펄럭이면서 파동처럼 넓게 퍼져나간다. 슈뢰딩거는 파동함수의 절대값의 제곱 $| ψ | 2$ 을 전자의 전하밀도로 해석했다. 그러나 전자는 거의 하나의 점처럼 공간의 매우 좁은 영역을 차지하고 있다고 생각되며, 따라서 입자가 공간 전역에 퍼져 있다는 것을 쉽게 납득할 수 없었고, 슈뢰딩거 역시 자신의 해석에 만족할 수 없었다.

[편집] 막스 보른의 해석

막스 보른은 $| ψ | 2$ 이 전하밀도가 아니고 확률밀도라고 주장했다. 그의 해석에 의하면 위치의 함수로써 $| ψ | 2$ 은 단지 바로 그 위치에서 입자가 발견될 확률밀도를 나타낸다. 비록 슈뢰딩거는 그 해석을 받아들이지 않았지만, 보른의 해석은 괴팅겐과 코펜하겐의 양자물리학자들에게 압도적인 지지를 얻었다. 파동함수 절대갑 제곱에 따른 보른의 이 해석 때문에 $| ψ | 2$ 은 확률밀도함수라고 불리게 되었고 이 해석은 물리학을 이해하는 데 근본적인 변혁을 가져왔다. 보른의 해석을 기점으로 물리학은 근본적인 차원에서 확률 개념을 도입해야만 했다. 파동함수와 물리적 실재 사이의 본질적 연결은 어디에서도 찾아볼 수 없다. 파동함수는 물리적 실재와 직접적으로 관계하고 있는 것이 아니라 관찰가능한 현상들의 개연성과 연관되어 있을 뿐이다. 보른의 해석을 기점으로 물리학은 근본적인 차원에서 확률 개념을 도입해야만 하는 지경에 이르렀다. 파동함수와 물리적 실재 사이의 본질적 연결은 어디에도 찾아볼 수 없으며 파동함수는 관찰 가능한 현상들의 개연성과 연관되어 있을뿐이다.

[편집] 아인슈타인의 불만

아인슈타인은 보른의 해석에 불만을 가지고 있었다. 아인슈타인은 1926년 보른에게 보낸 편지에 이렇게 기술하고 있다. "양자역학은 주목받을만 하지만 내 예감으로는 그것이 여전히 진실이 아닌 것 같다. 그 이론은 많은 성과를 내었지만, 과거의 비밀에 결코 더 가까이 접근한 것 같지는 않다. 어쨌든 나는 신은 주사위놀이를 하지 않는다고 확신한다.", 그리고 아인슈타인은 1948년 무렵 보른에게 이런 편지를 보냈다. "우리는 정 반대의 과학적 목표를 지향하고 있다. 당신은 주사위 놀이를 하는 신을 믿고있고, 나는 사물의 세계 안에 실제 대상으로서 존재하는 완벽한 법칙을 믿고 있다. 나는 그것을 포착하기 위해 대단히 노력하고 있다." 아인슈타인은 사물의 세계 안에 실제 대상으로서 존재하는 완벽한 법칙을 찾기 위해 양자론과 일반상대성이론을 통합하려는 프로그램을 수행하기 시작했다. 그러나 양자역학이 포착하지 못하는 영역을 다룰 만한, 보다 완전한 이론은 아직 개발되지 않고 있다.

[편집] 의미

파동의 상태는 파동함수로 표현할 수 있다. 음파의 경우 파동함수 p(x,t)는 x방향으로 진행하는 음파의 시간 t에 따른 압력의 변화를 나타낸다. 두 사람이 줄을 잡고 한쪽에서 흔들었다면 이때 줄에 생기는 파동에 대한 파동함수 y(x, t) 는 어떤 시간 t에서 원점으로부터 어떤거리 x에 있는 변위를 나타낸다. 이처럼 파동을 시간과 공간의 좌표점으로 표시할 수 있다. 따라서 드브로이의 물질파 역시 이러한 파동함수로 나타낼 수 있으며 기호 ψ로 나타낸다. 공간의 한 점에서의 파동함수 는 그 시간에 그 좌표에서 물체를 발견할 가능성과 관계가 있지만 그 자체만으로는 물리적 의미를 갖지 못한다.

[편집] 파동함수의 형태

파동함수 ψ(x,y,z,t) 만으로는 물리적인 의미를 갖지 못한다. 다만 ψ(x,y,z,t)에서 특정한 위치, 시간에 있을 때 절대값의 제곱 $| ψ | 2$ 은 그 곳에서 그 순간에 물체를 발견할 확률을 나타낸다. 파동함수는 반드시 실수로 표현되지 않으며 실수부와 허수부를 갖는 복소함수일 수 있으므로 다음과 같은 형태로 표현한다.

$ψ = A + i B$ (단, A, b 는 실함수)

ψ의 복소공액 $ψ *$ 는 아래와 같다.

$ψ * = A - i B$ (단, A, b 는 실함수)

위 식을 이용하여 파동함수의 절대값을 계산하면 다음과 같다.

$| ψ | 2 = ψψ * = A 2 - i 2 B 2 = A 2 + B 2$

따라서 계산결과는 항상 양의 실수가 나오게 된다.

[편집] 규격화

파동함수 $ψ$ 의 절대값의 제곱 $| ψ | 2$ 은 물체를 발견할 확률과 비례한다. 따라서 $| ψ | 2$ 를 모든 공간에 대해 적분했을 때 0 또는 무한대의 값이 나올 수는 없다. 만약 $\int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2\, dV = 0 \quad$ . 이면 입자는 존재하지 않고, 이 적분은 모든 범위에서 이루어지므로 무한대일 수는 없다. 또한 $| ψ | 2$ 은 정의에 의해서 음수나 복소수가 될 수가 없다. 따라서 $| ψ | 2$ 는 유한한 양이어야 한다.

$| ψ | 2$ 이 $ψ$ 에 의해 기술되는 입자를 발견할 확률밀도 P에 비례하게 하는 것보다 P와 같게 하는 것이 편하다. 만약 $| ψ | 2$ 이 P와 같다면 다음이 성립한다. 모든 시간에서 입자는 어디엔가는 존재해야 하므로

$\int_{-\infty}^{\infty} P\, dV = 1 \quad$ .

이며 따라서

$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2\, dV = 1 \quad$ .

이다. 위 식을 만족시키는 파동함수를 규격화되었다고 한다. 모든 의미있는 파동함수는 적당한 상수를 곱함으로써 항상 규격화 시킬 수 있다.

[편집] 파동함수가 갖추어야 할 조건

$ψ$ 는 규격화 할 수 있어야 할 뿐만 아니라 일가함수여야 한다. 왜냐하면 특정한 시간과 장소에서 P는 하나의 값을 가져야 하기 때문이다. 또한, 연속적이어야 한다. 운동량을 고려하면 편미분 $\frac{ \partial \psi }{ \partial x }, \frac{ \partial \psi }{ \partial y }, \frac{ \partial \psi }{ \partial z }$ 도 유한하고, 연속이어야 하며 일가함수여야 한다. 이러한 성질을 모두 갖춘 파동함수만이 실제 계산에 사용되었을 때 물리적으로 의미 있는 결과를 준다. 그러므로 이런 조건을 갖춘 함수들만이 실제 물체에 대한 수학적 표현으로 받아들일 수 있다. 요약하면 다음과 같다.

1. $ψ$ 는 모든 곳에서 연속이고 일가함수이다.

2. $\frac{ \partial \psi }{ \partial x }, \frac{ \partial \psi }{ \partial y }, \frac{ \partial \psi }{ \partial z }$ 는 모든 곳에서 연속이고 일가함수이다.

3. $ψ$ 는 규격화가 가능해야 한다. 이는 모든 공간에 걸쳐서 : $\mathbf{P} = \int |\psi|^2 \, dV$ 가 유한하기 위해, $x \to \pm \infty$ , $y \to \pm \infty$ , $z \to \pm \infty$ 인 극한에서 $ψ$ 는 0으로 수렴해야 한다는 것을 의미한다.

이 규칙들은 실제를 근사적으로만 대변하는 모델적인 상황의 입자 파동함수에서는 항상 성립하지 않을 수도 있다. 예를 들어서, 무한히 딱딱한 벽을 가진 상자에 해당하는 양 끝에서 무한히 높은 장벽을 가진 네모 퍼텐셜 우물같은 경우 상자 밖에서 $ψ = 0$ 이므로 무한히 딱딱한 벽에서는 파동함수의 미분이 연속적이지 않다. 그러나 현실에서는 무한히 딱딱한 벽이 존재하지 않으며, 벽에서 $ψ$ 가 급격하게 변하지 않으며 따라서 미분은 연속적이다.

위와 같은 조건을 갖춘 파동함수 $ψ$ 가 주어졌다면 이 파동함수로 기술되는 입자를 어떤 구간에서 발견할 확률은 단순히 확률밀도 $| ψ | 2$ 을 그 구간에서 적분한 값이다. 그러므로 x방향으로만 움직이는 입자를 $x 1$ 과 $x 2$ 사이에서 발견할 확률은 다음과 같다.

$\mathbf{P}_{x_{1}x_{2}} = \int_{x_{1}}^{x{2}} |\psi(x)|^2\, dx$ .