이 문서는 미분기하학의 개념에 관한 것입니다.
범주론 의 개념에 대해서는
당김 (범주론) 문서를 참고하십시오.
미분기하학 에서 당김 (영어 : pullback )이란 한 다양체 위에 정의된 공변(covariant ) 텐서를 다른 다양체 위에 옮겨 정의하는 방법이다.
두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수
ϕ
:
M
→
N
{\displaystyle \phi \colon M\to N}
N
{\displaystyle N}
텐서 (즉, 첨자가 모두 아랫첨자인 경우)
T
=
T
μ
ν
ρ
…
{\displaystyle T=T_{\mu \nu \rho \dots }}
M
{\displaystyle M}
ϕ
∗
T
{\displaystyle \phi ^{*}T}
T
{\displaystyle T}
미분형식 이나 (스칼라) 함수는 공변 텐서의 특수한 경우이므로, 이들을 다른 다양체로 당길 수 있다.
ϕ
:
M
→
N
{\displaystyle \phi \colon M\to N}
ω
(
v
1
,
…
,
v
k
)
{\displaystyle \omega (v_{1},\dots ,v_{k})}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
M
{\displaystyle M}
k
{\displaystyle k}
ϕ
∗
ω
{\displaystyle \phi ^{*}\omega }
(
ϕ
∗
ω
)
(
v
1
,
…
,
v
k
)
=
ω
ϕ
(
p
)
(
d
ϕ
p
(
v
1
)
,
…
,
d
ϕ
p
(
v
k
)
)
{\displaystyle (\phi ^{*}\omega )(v_{1},\dots ,v_{k})=\omega _{\phi (p)}(d\phi _{p}(v_{1}),\dots ,d\phi _{p}(v_{k}))}
여기서
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
v
i
∈
T
p
M
{\displaystyle v_{i}\in T_{p}M}
p
{\displaystyle p}
접공간 ),
d
ϕ
p
:
T
p
M
→
T
ϕ
(
p
)
N
{\displaystyle d\phi _{p}\colon T_{p}M\to T_{\phi (p)}N}
p
{\displaystyle p}
ϕ
{\displaystyle \phi }
미분 사상 이다.
(스칼라) 함수는 0차 공변 텐서이다. 이 경우, 함수
f
{\displaystyle f}
함수의 합성 과 같다. 즉,
ϕ
∗
f
=
f
∘
ϕ
{\displaystyle \phi ^{*}f=f\circ \phi }
이다.
f : R n R m g : R p R n 함수 , α 와 β를 R m k -형식, γ : R m R 를 R m
f
∗
(
α
+
β
)
=
f
∗
(
α
)
+
f
∗
(
β
)
{\displaystyle f^{*}(\alpha +\beta )=f^{*}(\alpha )+f^{*}(\beta )\;}
f
∗
(
γ
α
)
=
f
∗
(
γ
)
f
∗
(
α
)
{\displaystyle f^{*}(\gamma \alpha )=f^{*}(\gamma )f^{*}(\alpha )\;}
f
∗
(
α
1
∧
⋯
∧
α
k
)
=
f
∗
(
α
1
)
∧
⋯
∧
f
∗
(
α
k
)
{\displaystyle f^{*}(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})=f^{*}(\alpha _{1})\wedge \cdots \wedge f^{*}(\alpha _{k})\;}
여기서 α1 , …, αk R m
f
∗
(
α
∧
β
)
=
f
∗
(
α
)
∧
f
∗
(
β
)
{\displaystyle f^{*}(\alpha \wedge \beta )=f^{*}(\alpha )\wedge f^{*}(\beta )}
여기선 α 와 β 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.
(
f
∘
g
)
∗
α
=
g
∗
(
f
∗
α
)
{\displaystyle (f\circ g)^{*}\alpha =g^{*}(f^{*}\alpha )}
참고 문헌 [ 편집 ] Manfredo P. do Carmo (1994). 《Differential Forms and Applications》. Springer-Verlag. 
