합성함수

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함수 gf. 예를 들어 (g ○ f)(b) = @이다.

합성함수(Composite function,合成函數)는 두 개 이상의 함수를 합성하여 얻은 함수이다.

두 함수 f: X \rightarrow Y g: Y \rightarrow Z에 대하여, 함수  c: X \rightarrow Z를 어떻게 나타낼 수 있을까? 당연히 집합 X의 각 원소 x를 집합 Z의 원소 z에 대응시켜 나타내어야한다. 여기서 원소 z를 두 함수 f, g를 통해 나타내어보면 z=g(f(x))이므로 함수  c: X \rightarrow Z에서 x \rightarrow g(f(x))의 대응관계가 성립한다.

이와 같이, 두 함수f: X \rightarrow Y g: Y \rightarrow Z를 이용하여 함수  c: X \rightarrow Z를 나타내는 것을 함수를 합성한다라 한다.

따라서 이 함수  c: X \rightarrow Z에 대하여 x \rightarrow g(f(x))의 관계가 성립한다. 그러므로 함수 c의 함수식은 y=g(f(x))이다.

이 합성함수 c에서 주목해야 할 부분은 g(f(x))로, 최근에 함수 g에 의한 값을 가졌는데 처음에는 함수 f에 의한 값을 가졌다를 말해주기위해, 이 합성함수를 g○f로 나타낸다.

즉, 이제부터 함수 c를 간단히 기호 g○f로 나타내기로 약속하겠다.

두 개 이상의 함수를 합성할 때, 아무 함수끼리나 합성할 수 있는 건 아니다. 이를테면, 두 함수를 합성할 때, 한 함수의 치역이 다른 함수의 정의역에 포함될 수 있어야만 두 함수를 합성할 수 있는 것이다. 두 함수 f: X \rightarrow Y g: Y \rightarrow Z에 대하여, 함수 f의 치역은 함수 g의 정의역에 당연히 포함되므로 함수 f와 g는 합성될 수 있다.

함수를 합성할 때는 항상 결합법칙이 성립한다. 예를 들어 함수 (h ∘ g) ∘ f와 함수 h ∘ (g ∘ f)는 괄호의 연산 순서와 관련없이 항상 같다. 하지만 함수의 합성에 있어서 일반적으로 교환법칙은 성립하지 않는다. 다만 (g ∘ f)=(f ∘ g)일 때는 교환법칙이 성립한다고 한다. 교환법칙은 특수한 사례이거나, 특정 구간에 대해서 성립할 수 있다.