함수의 합성

함수 $g\circ f$. 예를 들어 $(g\circ f)(c)={\#}$이다.

수학에서 함수의 합성(函數의合成, 영어: function composition) 또는 합성 함수(合成函數, 영어: composite function)는 한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다.

정의

임의의 집합 $X$, $Y$, $Z$ 및 두 함수

$f\colon X\to Y$

$g\colon Y\to Z$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 두 함수의 합성 $g\circ f$는 다음과 같은 함수이다.

$g\circ f\colon X\to Z$

$g\circ f\colon x\mapsto g(f(x))$

합성 $g\circ f$가 정의되려면, $f$의 공역과 $g$의 정의역이 같아야 한다.

성질

함수의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다. 즉, 임의의 집합 $X$, $Y$, $Z$, $W$ 및 함수

$f\colon X\to Y$

$g\colon Y\to Z$

$h\colon Z\to W$

가 주어졌을 때,

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f\colon X\to W$

이다. 이에 따라, (항등 함수의 존재를 추가하면) 집합과 함수들은 범주를 이루는 것을 알 수 있다.

증명:

임의의 $x\in X$에 대하여

$(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))=(h\circ g)(f(x))=((h\circ g)\circ f)(x)$

이므로

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

이다.

임의의 집합 $X$ 및 이를 정의역과 공역으로 하는 두 함수 $f,g\colon X\to X$가 주어졌을 때, 두 가지 순서의 합성 $g\circ f$, $f\circ g$을 정의할 수 있다. 이 경우 교환 법칙은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, $X=\mathbb {R}$가 실수체이고,

$f\colon x\mapsto x+1$

$g\colon x\mapsto x^{2}$

라고 하면,

$g\circ f\colon x\mapsto (x+1)^{2}$

$f\circ g\colon x\mapsto x^{2}+1$

이며,

$(g\circ f)(1)=4\neq 2=(f\circ g)(1)$

이므로 $g\circ f\neq f\circ g$이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Composition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.