함수의 합성

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함수 g\circ f. 예를 들어 (g\circ f)(c)={\#}이다.

수학에서, 함수의 합성(函數의合成, 영어: function composition)은 한 함수의 공역이 다른 함수이 정의역과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다. 이렇게 얻어진 함수를 합성 함수(合成函數, 영어: composite function)라고 한다.

정의[편집]

임의의 집합 X, Y, Z 및 두 함수

f\colon X\to Y
g\colon Y\to Z

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 두 함수의 합성 f\circ g는 다음과 같은 함수이다.

g\circ f\colon X\to Z
g\circ f\colon x\in X\mapsto g(f(x))

함수의 합성 f\circ g가 정의되려면, f공역g정의역과 일치하여야 한다.

성질[편집]

함수의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다. 즉, 임의의 집합 X, Y, Z, W 및 함수

f\colon X\to Y
g\colon Y\to Z
h\colon Z\to W

가 주어졌을 때,

h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\colon X\to W

이다. 이에 따라, (항등 함수의 존재를 추가하면) 집합과 함수들은 범주를 이루는 것을 알 수 있다.

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