대수 곡면

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대수기하학에서, 대수 곡면(對數曲面, 영어: algebraic surface)은 2차원의 대수다양체이다. 복소 대수 곡면은 위상수학다양체로 간주한다면 실수 2차원의 곡면이 아니라 실수 4차원의 다양체를 이루게 된다.

정의[편집]

K대수적으로 닫힌 체라고 하자. K 위의 대수 곡면은 2차원 K-대수다양체이다.[1]

분류[편집]

대수 곡면의 쌍유리 동치류의 완전한 분류는 매우 어려운 문제이다. 이에 대한 부분적인 분류가 존재하며, 엔리퀘스-고다이라 분류((영어: Enriques–Kodaira classification)라고 한다. 이는 모든 대수 곡면을 10종으로 분류한다. 이 가운데 9종은 특수한 곡면들이고, 대부분의 곡면들은 "일반형 곡면"으로 뭉뚱그려 분류한다. 9종의 특수한 곡면들은 호지 수모듈러스 공간이 알려져 있지만, 일반형 곡면들은 잘 알려져 있지 않다.

엔리퀘스-고다이라 분류는 모든 콤팩트 복소 해석 곡면을 그 사영 최소 모형(영어: minimal model)의 고다이라 차원에 따라 10종으로 분류하며, 다음과 같다. 10종 가운데 8종만이 대수 곡면을 이룰 수 있다.

성질[편집]

모든 비특이 완비 대수 곡면은 사영 대수다양체이다.[1]:105, Remark 4.10.2b 그러나 특이 완비 대수 곡면은 사영 대수다양체가 아닐 수 있다.[1]:105, Remark 4.10.2c

불변량[편집]

대수 곡면의 산술 종수기하 종수쌍유리 동치에 대한 불변량이다. 대수 곡면의 경우, 대수 곡선의 경우와 달리 산술 종수

p_{\text{g}}=h^{0,2}=h^{2,0}

기하 종수

p_{\text{a}}=h^{0,2}-h^{0,1}

가 다르다. 이 두 수의 차를 비정칙도(영어: irregularity)

q=h^{0,1}

라고 하며, 이는 곡면피카르 다양체의 차원과 같다. 나머지 호지 수 h^{1,1}은 쌍유리 동치에 대한 불변량이 아닌데, 이는 부풀리기를 가하면 사영 직선이 추가되어 h^{1,1}이 증가하기 때문이다.

곡면 리만-로흐 정리[편집]

대수 곡선과 마찬가지로, 대수 곡면에 대해서도 리만-로흐 정리의 한 형태가 성립한다.

특이점의 해소[편집]

대수 곡면의 경우, 대수 곡선의 경우와 달리 유일한 비특이 사영 모형이 존재하지 않는다. 그러나 대수 곡면의 경우, 유일한 최소 비특이 사영 모형이 존재하며, 다른 모든 비특이 사영 모형들은 이 최소 모형의 부풀리기로 나타내어진다.

[편집]

대표적인 대수 곡면으로는 다음이 있다.

역사[편집]

이차 곡면은 고대 그리스에서부터 이미 활발히 연구되었다. 대수 곡선의 분류가 알려지면서, 19세기 말에 알프레트 클렙슈막스 뇌터는 대수 곡면의 연구를 제창하였다. 20세기 초에 이탈리하 학파의 페데리고 엔리퀘스는 모든 대수 곡면을 10종으로 분류하였으나, 이탈리아 학파의 방식은 엄밀하지 않았다.

1930년대에 오스카 자리스키는 대수 곡면의 특이점의 해소를 증명하였다. 1950년대에 고다이라 구니히코가 엔리퀘스의 분류를 엄밀히 증명하였고, 이는 오늘날 엔리퀘스-고다이라 분류로 불린다.

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]