직선

‘직접 선거’의 준말인 직선(直選)에 대해서는 직접 선거 문서를 참조하십시오.

빨간 선과 파란 선은 같은 기울기를 가지고 있고, 빨간 선과 초록 선은 같은 y 절편을 가지고 있다.

직선(直線)은 무한히 얇고, 무한히 길고 곧은 기하학적 요소이다. 2차원에서 두 직선의 관계는 평행이거나(영원히 만나지 않거나), 일치하거나, 한 점에서 만나거나 가운데 하나이다. 3차원 공간에서는 "꼬인 위치에 있다"가 추가된다.

직선의 방정식

직선의 방정식은 좌표계의 종류에 따라, 그리고, 좌표축의 개수에 따라 다양하게 기술될 수 있으며, 본 문서에서는 유클리드 좌표계에서도 2차원 및 3차원의 경우를 논한다.

2차원

y축과 평행하지 않은 직선은 일차식

$y=ax+b$

의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 $a$를 직선의 기울기라고 한다.

일반적인 직선의 방정식은 $ax+by+c=0$ 으로 나타낼 수 있으며, y축과 평행한 직선까지 나타낼 수 있다.

여러가지 직선의 방정식

• x축의 방정식은 $y=0$

• y축의 방정식은 $x=0$

• x축에 평행한 직선의 방정식은 $y=k$(단, k≠0)

• y축에 평행한 직선의 방정식은 $x=k$(단, k≠0)

• $(x_1 ,y_1 )$을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은 $y-y_1 =m(x-x_1 )$

• $(x_1 ,y_1 )$, $(x_2 ,y_2 )$을 지나는 직선의 방정식은 $y-y_1 =\frac{y_2 -y_1 }{x_2 -x_1 }(x-x_1 )$

• x절편이 $\alpha$, y절편이 $\beta$인 직선의 방정식은 $\frac{x}{\alpha} +\frac{y}{\beta} =1$

이차 곡선의 접선의 방정식

• 원 $x^2 +y^2=r^2$ 위의 점 $(x_1 ,y_1 )$에서의 접선의 방정식은 $x_1 x +y_1 y=r^2$

• 원 $x^2 +y^2=r^2$의 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx \pm r \sqrt {m^2 +1}$

• 타원 위의 점 $(x_1 ,y_1 )$에서의 접선의 방정식은 $\frac {x_1 x} {a^2} +\frac {y_1 y} {b^2}=1$

• 타원 $\frac {x^2} {a^2} +\frac {y^2} {b^2}=1$의 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx \pm \sqrt {a^2 m^2 +b^2}$

• 쌍곡선 위의 점 $(x_1 ,y_1 )$에서의 접선의 방정식은 $\frac {x_1 x} {a^2} -\frac {y_1 y} {b^2}=1$

• 쌍곡선 $\frac {x^2} {a^2} -\frac {y^2} {b^2}=1$의 기울기가 $m$인 접선의 방정식은 $y=mx \pm \sqrt {a^2 m^2 -b^2}$

임의의 곡선의 접선의 방정식

• 2차원 유클리드 공간 내의 임의의 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a ,b)$에서의 접선의 방정식은 $y -f(a)= f'(a)(x-a)$
  (단, $f'(a)$는 곡선 $y=f(x)$의 점 $(a ,b)$에서의 미분계수)

한 그래프의 특징

직선은 $y=ax+b$는 다음과 같은 특징을 갖는다.

• x절편은 $\textstyle x = -\frac{b}{a}$, y절편은 $b$이다.

• $a \not= 0$일 때, x축과 한 점에서 만난다.

두 그래프의 특징

일차 함수 $y=ax+b$, $y=a'x+b'$의 그래프는 다음과 같은 특징을 갖는다.

• $a=a'$, $b=b'$일 때 두 그래프는 일치한다.

• $a=a'$, $b \not= b'$일 때 두 그래프는 평행하다.

• $aa'=-1$일 때 두 그래프는 수직이다.

3차원

3차원에서의 직선의 방정식은 벡터를 이용해 기술한다.

한 점을 지나는 직선의 방정식

한 점을 지나고 방향벡터에 평행한 방정식

한 점 A를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 $\overrightarrow{u}$에 평행한 직선 $l$이 있을 때, 이 직선 $l$위에 있는 점 P에 대하여, $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{x}$라 하면($O$는 3차원 유클리드 공간의 원점이다.), $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{u}$가 성립한다.($t$는 임의의 스칼라) 이때, $\overrightarrow{u}$는 직선이 뻗어있는 방향을 결정하는 벡터로, 이 벡터를 방향벡터라고 한다. 그리고 점 P의 위치를 결정하는 벡터인 $\overrightarrow{x}$는 위치 벡터라고 한다.

여기서 $A(x_1,y_1,z_1)$, $P(x,y,z)$, $\overrightarrow{u}=(a,b,c)$이면, 위의 벡터방정식을 이렇게 바꾸어 쓸수도 있다.
$x=x_1+ta, y=y_1+ta, z=z_1+tc$ 특히, $abc=0$일때, 다음이 성립한다.

$\frac {x-x_1} {a}=\frac {y-y_1} {b}=\frac {z-z_1} {c}$

xy평면, yz평면, zx평면에 평행한 직선의 방정식

좌표평면에 평행하고, 점 $A(x_1,y_1,z_1)$을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

직선의 방정식

좌표평면	좌표평면에 평행한 직선의 방향벡터 $\overrightarrow{u}$	좌표평면에 평행한 직선의 방정식
$xy$평면	$z$성분이 0이고, $\overrightarrow{u}=(a,b,0)$이다.	$\frac {x-x_1} {a}=\frac {y-y_1} {b}, z=z_1$
$yz$평면	$x$성분이 0이고, $\overrightarrow{u}=(0,b,c)$	$\frac {y-y_1} {a}=\frac {z-z_1} {b}, x=x_1$
$zx$평면	$y$성분이 0이고, $\overrightarrow{u}=(a,0,c)$	$\frac {z-z_1} {a}=\frac {x-x_1} {b}, y=y_1$

x축, y축, z축과 평행한 직선의 방정식

좌표축에 평행하고, 점 $A(x_1,y_1,z_1)$을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

직선의 방정식

좌표축	좌표축에 평행한 직선의 방향벡터 $\overrightarrow{u}$	좌표축에 평행한 직선의 방정식
$x$축	$y$성분과 $z$성분이 0이고, $\overrightarrow{u}=(1,0,0)$이다.	$y=y_1, z=z_1$
$y$축	$z$성분과 $x$성분이 0이고, $\overrightarrow{u}=(0,1,0)$이다.	$z=z_1, x=x_1$
$z$평면	$x$성분과 $y$성분이 0이고, $\overrightarrow{u}=(0,0,1)$이다.	$x=x_1, y=y_1$

두 점을 지나는 직선의 방정식

원점 $O$가 정의되어 있는 3차원 유클리드 공간에서 두 점 $A(x_1,y_1,z_1)$, $B(x_2,y_2,z_2)$을 지나는 직선이 있을 때, 그 직선 위의 점 P에 대하여, 직선의 방정식은 다음과 같이 나타낸다.

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{x}$일때,
$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}=t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$

이 식에서 매개변수 $t$를 소거하여 나타내면, 다음과 같다.

$\frac {x-x_1} {x_2-x_1}=\frac {y-y_1} {y_2-y_1}=\frac {z-z_1} {z_2-z_1}$

같이 보기

• 반직선
• 선분
• 일차 함수

바깥 고리

• 직선의 방정식