아르키메데스 성질

추상대수학에서 아르키메데스 성질이란 고대 그리스 수학자 아르키메데스의 이름을 딴 성질로서, 어떤 군(group), 체(field) 또는 다른 대수적 구조(algebraic structures)에서 성립하는 성질을 가리킨다. 간단하게 말하면, 대수적 집합 내에 무한히 큰 또는 작은 원소가 없는 것을 의미한다.

완전순서 군에서의 정의

완전순서(Linearly Ordered) 구조를 가지는 군 G 의 원소 x, y가 있을 때, 모든 자연수 n에 대해 nx가 y보다 작을 경우 x는 y에 대한 무한소(infinitesimal)라고 한다. 즉, 모든 자연수 n에 대해 다음의 부등식이 항상 만족한다.

$\underbrace{x+\cdots+x}_{n\text{ terms}} < y.$

이러한 조건을 만족하는 x,y 가 존재하지 않을 때, 군 G 는 아르키메데스 성질을 가진다고 한다. 다시 말해서, 아무리 작은 원소라 하더라도 그것을 유한번 더해서 어떤 크기의 원소보다도 커질 수 있다면 아르키메데스 성질을 가지고 있다고 볼 수 있다.