아르키메데스 성질

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추상대수학에서, 아르키메데스 성질(Ἀρχιμήδης性質, 영어: Archimedean property)이란 고대 그리스 수학자 아르키메데스의 이름을 딴 성질로서, 어떤 , 또는 다른 대수적 구조에서 성립하는 성질을 가리킨다. 간단하게 말하면, 대수적 집합 내에 무한히 크거나, 무한히 작은 원소가 없는 것을 의미한다.

정의[편집]

아르키메데스 전순서군[편집]

전순서를 가지는 군 G의 양의 원소 x, y가 있을 때, 모든 자연수 n에 대하여 nxy보다 작을 경우, xy에 대하여 무한소라고 한다. 즉, 모든 자연수 n에 대해 다음의 부등식이 항상 만족하는 경우이다.

 \underbrace{x+\cdots+x}_{n\text{ terms}} < y.

이러한 조건을 만족하는 양의 원소 x, y 가 존재하지 않을 때, 군 G는 아르키메데스 성질을 가진다고 한다. 다시 말해서, 아무리 작은 원소라 하더라도 그것을 유한번 더해서 어떤 크기의 원소보다도 커질 수 있다면 아르키메데스 성질을 가지고 있다고 볼 수 있다.

아르키메데스 노름 체[편집]

값매김환노름 공간의 이론을 적용해서 정의할 수도 있다. F가 절대값 함수를 가진다고 하자. 절대값 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.

  • F의 원소 0에 대하여 실수 0에 대응한다.
  • F의 0이 아닌 원소 x에 대하여 양의 실수 |x|에 대응한다.
  • |xy|=|x| |y|.
  • |x+y| \le |x|+|y|.

이러한 체 F에서 0이 아닌 모든 원소 x에 대하여 다음을 만족하는 자연수 n이 존재하면

|\underbrace{x+\cdots+x}_{n\text{ terms}}| > 1. \,

F아르키메데스 성질을 가진다고 할 수 있다.

이와 유사하게, 노름 공간에서 0이 아닌 모든 벡터 x에 대하여, n이 충분히 크면 n차례 더해서 1보다 더 큰 노름을 가지게 만들수 있다면 아르키메데스 성질을 가진다고 할 수 있다. 절대값을 가지는 체 또는 노름 공간은 아르키메데스 성질을 가지거나, 초측지적 삼각 부등식

|x+y| \le \max(|x|,|y|)

이 성립한다,

초측지적 삼각 부등식을 가지는 케 또는 노름 공간은 비아르키메데스 성질을 가진다고 한다.[1]

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정수의 집합 \mathbb Z는 덧셈에 대하여 표준적인 아벨 군 구조를 가지며, 또한 표준적인 전순서를 갖는다. 이 구조에 대하여, 정수의 집합은 아르키메데스 성질을 만족시킨다.

유리수체 \mathbb Q 역시 전순서 아벨 군으로서 아르키메데스 성질을 만족시킨다. 즉, 임의의 자연수 a,b\in\mathbb N에 대하여, na \ge b를 만족하는 n \in \mathbb N이 존재한다.[2] 마찬가지로, 실수체 \mathbb R 역시 아르키메데스 성질을 만족시킨다.

초실수{}^*\mathbb R는 아르키메데스 체가 아니다. 유한체의 경우, 전순서를 줄 수 없으므로 아르키메데스 순서체로 만들 수 없다.

참고 문헌[편집]

  1. Monna, A. F., Over een lineare P-adisches ruimte, Indag. Math., 46 (1943), 74–84.
  2. David M. Burton, Elementary Number Theory(7th edition), McGraw-Hill, 2009, 2.

바깥 고리[편집]