아르키메데스 성질

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초등정수론[1][편집]

모든 임의의 자연수 a, b에 대해서, na \ge b를 만족하는 n \in \mathbb{N}이 존재한다.

증명[편집]

이 명제가 거짓이라고 가정하자.

그러면 어떤 자연수 a, b에 대해서 모든 자연수 nna < b를 만족한다.

모든 자연수 n에 대해 b - na > 0이므로, 아래와 같은 집합 S는 자연수의 집합과 같은 집합이다.

S = \left\{ b-na|n \in \mathbb{N} \right\}

자연수의 정렬성에 의해, 집합 S에 가장 작은 원소가 존재하며, 그 원소를 b - ma라 하자.

그렇다면 전제에 의해  b-(m+1)a 또한 S의 원소이므로 아래의 식이 성립한다.

 b-(m+1)a < b - ma

이는 자연수의 정렬성와 모순이다.

따라서 처음의 가정이 틀렸으며, 이 명제는 참이다.

추상대수학[편집]

추상대수학에서 아르키메데스 성질(Archimedean property)이란 고대 그리스 수학자 아르키메데스의 이름을 딴 성질로서, 어떤 , 또는 다른 대수적 구조에서 성립하는 성질을 가리킨다. 간단하게 말하면, 대수적 집합 내에 무한히 크거나, 무한히 작은 원소가 없는 것을 의미한다.

완전순서 군에서의 정의[편집]

완전순서를 가지는 군 G의 양의 원소 x, y가 있을 때, 모든 자연수 n에 대하여 nxy보다 작을 경우, xy에 대하여 무한소라고 한다. 즉, 모든 자연수 n에 대해 다음의 부등식이 항상 만족하는 경우이다.

 \underbrace{x+\cdots+x}_{n\text{ terms}} < y.

이러한 조건을 만족하는 양의 원소 x, y 가 존재하지 않을 때, 군 G는 아르키메데스 성질을 가진다고 한다. 다시 말해서, 아무리 작은 원소라 하더라도 그것을 유한번 더해서 어떤 크기의 원소보다도 커질 수 있다면 아르키메데스 성질을 가지고 있다고 볼 수 있다.

노름 체에서의 정의[편집]

값매김환노름 공간의 이론을 적용해서 정의할 수도 있다. F가 절대값 함수를 가진다고 하자. 절대값 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.

  • F의 원소 0에 대하여 실수 0에 대응한다.
  • F의 0이 아닌 원소 x에 대하여 양의 실수 |x|에 대응한다.
  • |xy|=|x| |y|.
  • |x+y| \le |x|+|y|.

이러한 체 F에서 0이 아닌 모든 원소 x에 대하여 다음을 만족하는 자연수 n이 존재하면

|\underbrace{x+\cdots+x}_{n\text{ terms}}| > 1. \,

F아르키메데스 성질을 가진다고 할 수 있다.

이와 유사하게, 노름 공간에서 0이 아닌 모든 벡터 x에 대하여, n이 충분히 크면 n차례 더해서 1보다 더 큰 노름을 가지게 만들수 있다면 아르키메데스 성질을 가진다고 할 수 있다. 절대값을 가지는 체 또는 노름 공간은 아르키메데스 성질을 가지거나, 초측지적 삼각 부등식

|x+y| \le \max(|x|,|y|)

이 성립한다,

초측지적 삼각 부등식을 가지는 케 또는 노름 공간은 비아르키메데스 성질을 가진다고 한다.[2]

주석[편집]

  1. David M. Burton, Elementary Number Theory(7th edition), McGrawHill, 2009, 2.
  2. Monna, A. F., Over een lineare P-adisches ruimte, Indag. Math., 46 (1943), 74–84.