오일러 직선

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오일러선 (붉은색)은 무게중심 (주황색), 수심 (푸른색), 외심 (초록색)과 구점원의 중심 (붉은색)을 한 직선으로 이어준다.

기하학에서 오일러 직선(Euler直線, 영어: Euler line)은 삼각형의 여러 중요한 중심을 지나는 직선이다. 그림에서, 오일러 직선(붉은색)은 수심(푸른색), 구점원의 중심(붉은색), 무게중심(주황색), 외심(초록색)을 지난다. 오일러는 어떤 삼각형에서든지, 수심, 구점원의 중심, 무게중심, 외심이 한 직선 위에 있다는 것을 증명하였다.

정삼각형은 예외로, 정삼각형에서는 이 네 점이 일치하기 때문이다(이 경우에도 '한 직선' 위에 존재한다). 구점원의 중심은 오일러선에서 수심과 외심의 중점이며, 무게중심은 외심과 수심을 1:2로 내분한다. 내심은 이등변삼각형에서만 오일러선 위에 위치한다.

증명[편집]

세르보어의 정리[편집]

삼각형 ABC의 수심 H, 외심 O에 대해 BC의 중점을 M이라 하면 AH=2OM이 성립한다.

증명은 다음과 같다.

오일러 직선.jpg

BH//CE, CH//BE
즉, \Box BECH평행사변형이므로
EM=MH, EO=OA
\triangle AEH \sim \triangle OEM (AA)
\therefore AH//OM, AH=2OM이다.

세르보어 정리에서,

AM과 OH의 교점 G는 AG:GM=2:1인 중선 위의 점이므로 G는 무게중심이다. 따라서 O,G,H는 한 직선 위에 있고, OG:GH=1:2이다.

구점원의 중심과 오일러 직선[편집]

H는 수심, N은 구점원의 중심, O는 외심이면 구점원의 중심은 OH의 중점이다.

증명은 다음과 같다.

오일러 직선 구점원의 중심.png

P는 AH의 중점, M은 BC의 중점, HA는 A에서 BC에 내린 수선의 발이라 하자.

PM은 구점원의 지름이므로 PM의 중점이 N이며, 사각형 PHMO는 평행사변형이다.(구점원 참고)

이때 두 대각선의 교점은 PM의 중점인 구점원의 중심 N이고, 이것은 OH의 중점이다.