방심

삼각형과 방접원

기하학에서, 방심(傍心)은 삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 각의 외각의 이등분선의 교점이다.

특징

• 방심은 삼각형의 오심과 달리 세 개가 있다.
• 방심은 삼각형의 한 변과 다른 두 변의 연장선과의 거리가 같다. 옆의 그림에서, 원 J_A, J_B, J_C를 방접원이라고 부른다.
• 세 방심을 이은 삼각형의 수심은 내심이며, 이 삼각형의 수족삼각형은 본래의 삼각형이다.
• 삼각형의 한 내각의 이등분선과, 이것과 이웃하지 않은 두 외각의 이등분선은 한 점에서 만나는데, 이 점이 방심이다.
• 세 방접원과 접하는 원은 구점원이다.

방접원과 삼각형의 넓이

삼각형 ABC에 대해 BC, CA, AB의 길이를 a, b, c라 하고,

원 J_A, J_B, J_C의 반지름을 각각 r_A, r_B, r_C라 하면

$S=\frac{1}{2}r_A(b+c-a)=\frac{1}{2}r_B(c+a-b)=\frac{1}{2}r_C(a+b-c)$

가 성립한다.

$s=\frac {a+b+c}{2}$라 하면

헤론의 공식에 의해

$S=\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}$

이 성립하므로

$r_A=\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}, r_B=\sqrt {\frac {s(s-c)(s-a)}{s-b}}, r_C=\sqrt {\frac {s(s-a)(s-b)}{s-c}}$

이다.

또한 내접원의 반지름의 길이 $r=\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$임을 이용하면,

삼각형의 넓이는 $S=\sqrt {r r_A r_B r_C}$이다.