외접원

외접원이란, 어떤 2차원 다각형에 대해, 그 다각형의 꼭짓점들을 원주 위에 가지고 있는 원을 뜻한다. 그 원의 중심은 외심이라고 한다.

일반적으로 다각형에 외접원이 항상 존재하는 것은 아니다.

삼각형의 외접원

모든 삼각형에는 외심이 항상 존재하고, 그 점은 각 변의 수직이등분선의 교점이다. 그리고 외접원에 둘러싸여 있기 때문에 삼각형의 각 꼭지점에서 외심까지의 길이는 외접원의 반지름과 일치하므로 같다.

삼각형의 각 변의 수직이등분선의 교점은 외접원의 중심에서 만난다.

이것을 증명하려면, 어떠한 변의 수직이등분선은 하나밖에 존재하지 않는다는 것을 이용하여, 두 수직이등분선의 교점에서 나머지 한 변에 내린 수선이 그 변을 이등분한다는 것을 보이면 된다.

외심의 위치

• 직각삼각형의 외심은 빗변의 중심에 위치한다.
• 둔각삼각형의 외심은 삼각형 바깥에 위치한다.
• 예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 위치한다.

외접원과 외심의 성질

• 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
• 삼각형의 외심, 무게중심, 수심, 구점원의 중심은 한 직선 위에 있다. (오일러 직선 참고)

사인 법칙

이 부분의 본문은 사인 법칙입니다.

삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기를 각각 a, b, c, A, B, C라 하고, 외접원의 반지름 길이를 R이라 할 때, $\frac {a}{\sin {A}}=\frac {b}{\sin {B}}=\frac {c}{\sin {C}}=2R$ 이 성립한다.

외접원과 삼각형의 넓이

삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c라 하고, 외접원의 반지름 길이를 R이라 할 때, 삼각형의 넓이 S는

$S=\frac {abc}{4R}$이 성립한다.

증명은 다음과 같다.

$S=\frac {1}{2}ab\sin {C}$(삼각형의 넓이)
$\sin {C}=\frac {c}{2R}$(사인 법칙)
따라서,
$S=\frac {abc}{4R}$

우산 정리

이 부분의 본문은 우산 정리입니다.

삼각형 ABC와 그 외접원 위의 점 D, BC위의 점 E에 대해, 다음 세 조건 중 하나를 만족하면 $AB*AC=AD*AE$이다.

• D,E는 각 A의 이등분선 위의 점이다.
• A,D,E는 한 직선 위에 있으며 AB=AC이다.
• AD는 외심을 지나며 AE는 BC와 수직이다.

오일러의 정리

이 부분의 본문은 오일러의 정리 (기하학)입니다.

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 내심과 외심 사이 거리는 $\sqrt{R^2-2Rr}$이다.

오일러의 부등식

이 부분의 본문은 오일러의 부등식입니다.

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 R은 2r보다 같거나 크다.

사각형의 외접원

사각형 ABCD에 원이 외접하려면 다음 조건 중 하나를 만족하여야 한다.

• $\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$(대각)
• $\angle ACB = \angle ADB$(원주각)
• AC와 BD의 교점이 E일 때, $AE*EC=BE*ED$(방멱)
• $AB*CD+AD*BC=AC*BD$(톨레미의 정리)