심슨 직선

심슨 직선

기하학에서 심슨 직선(영어: Simson line)은 삼각형의 외접원 위의 점을 지나는 각 변의 수선의 발을 지나는 직선이다.

정의

삼각형 $ABC$ 및 같은 평면 위의 점 $P$가 주어졌다고 하자. $P$를 지나는 변 $BC$, $CA$, $AB$의 수선의 발을 $D$, $E$, $F$라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:41, §2.5, Theorem 2.51}

• $D$, $E$, $F$는 한 직선 위의 점이다.
• $P$는 삼각형 $ABC$의 외접원 위의 점이다.

만약 $P$가 삼각형 $ABC$의 외접원 위의 점이라면, $D$, $E$, $F$를 지나는 직선을 삼각형 $ABC$에 대한 점 $P$의 심슨 직선이라고 한다. 만약 $P$가 삼각형 $ABC$의 외접원 위의 점이 아니라면, 삼각형 $DEF$를 삼각형 $ABC$에 대한 점 $P$의 수족 삼각형이라고 한다.

증명:

점 $P$가 외접원 위의 점이라고 가정하자. 꼭짓점 $A$를 지나는 외접원의 지름을 $AA'$이라고 하자. 편의상 $P$가 호 $BA'$ 위의 점이라고 가정하자. 그렇다면 $D$, $E$는 선분 $BC$, $CA$ 위의 점이며 $F$는 선분 $AB$의 연장선 위의 점이다. 또한 $PD$, $PE$, $PF$가 $BC$, $AC$, $AB$의 수선이므로 사각형 $AEPF$, $BDPF$, $CEDP$는 내접 사각형이며, $P$가 외접원 위의 점이므로 사각형 $ABPE$ 역시 내접 사각형이다. 따라서

${\begin{aligned}\angle BDF&=\angle BPF\\&=\angle EPF-\angle BPE\\&=180^{\circ }-\angle A-\angle BPE\\&=\angle BPC-\angle BPE\\&=\angle CPE\\&=\angle CDE\end{aligned}}$

이다. 즉, $D$, $E$, $F$는 한 직선 위의 점이다.

반대로 $D$, $E$, $F$가 한 직선 위의 점이라고 가정하자. 그렇다면 $P$는 삼각형의 한 꼭짓점에서의 내각의 내부에 속하며, 대변에 대하여 그 꼭짓점의 반대쪽에 있다. 편의상 $P$가 내각 $\angle A$의 내부에 속하며 대변 $BC$에 대하여 $A$의 반대쪽에 있다고 하자. 그렇다면 사각형 $CEDP$, $BDPF$는 내접 사각형이므로

$\angle CPE=\angle CDE=\angle BDF=\angle BPF$

이다. 사각형 $AEPF$ 역시 내접 사각형이므로

$\angle BPC=\angle BPE+\angle CPE=\angle BPE+\angle BPF=\angle EPF=180^{\circ }-A$

가 성립한다. 따라서 사각형 $ABPC$ 역시 내접 사각형이며, $P$는 삼각형 $ABC$의 외접원 위의 점이다.

성질

삼각형 $ABC$에 대한 외접원 위의 두 점 $P$, $Q$의 심슨 직선 사이의 각의 크기는 외접원의 호 $PQ$의 중심각의 크기의 1/2과 같다.^{:44, §2.7, Theorem 2.71}

증명:

점 $P$를 지나는 변 $BC$, $AC$, $AB$의 수선의 발을 $D$, $E$, $F$라고 하고, 직선 $PD$와 외접원의 다른 한 교점을 $P'$이라고 하자. 그렇다면 $AP'$와 심슨 직선이 평행하는 것을 보이는 것으로 충분하다. 점 $B$를 지나는 외접원의 지름을 $BB'$이라고 하고, 편의상 $P$가 호 $AB'$ 위의 점이라고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 $APCP'$, $PCDE$는 내접 사각형이므로

$\angle PP'A=\angle PCE=\angle PDE$

이다. 따라서 $AP'$와 심슨 직선 $DE$는 평행한다.

삼각형 $ABC$에 대한 외접원 위의 두 대척점 $P$, $Q$의 심슨 직선은 서로 수직이며, 구점원 위의 점에서 만난다.^{:45, §2.7, Exercise 1}

삼각형 $ABC$에 대한 외접원 위의 점 $P$의 심슨 직선은 $P$와 수심 $H$ 사이의 선분 $PH$를 이등분하며, 이 이등분점은 심슨 직선과 삼각형 $ABC$의 구점원의 한 교점이다.^{:47, §5.3}

포락선

슈타이너 하이포사이클로이드

주어진 삼각형에 대한 심슨 직선들의 족의 포락선은 델토이드 곡선이며, 이를 슈타이너 하이포사이클로이드(영어: Steiner’s hypocycloid)라고 한다.^{:44, §2.7}

외부 링크

• “Simson straight line”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Simson line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Bogomolny, Alexander. “Simson line”. 《Cut the Knot》 (영어).