포락선

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포락선(envelope, 包絡線)은 어떤 단일 매개변수에 따라 정의된 무한개의 곡선이 있을 때 그 곡선군의 모든 곡선에 접하는 곡선을 이르는 말이다. 즉, 각각의 t에 대하여 곡선 가 있을 때, 이의 포락선 σ는 각각의 C_t 모두와 접하는 곡선이다.[1] 정의에 의하면 일반적으로 모든 곡선은 그 접선군의 포락선이라고 말할 수 있다.[2]

선(線)이라는 명칭은 이 개념이 일반적으로 1차원적인 도형인 곡선에 대해서만 적용되기 때문에 번역 도중 붙은 것인데, 일반적으로 원어의 'envelope' 개념은 모든 차원의 도형에 대해 적용시킬 수 있는 것이므로 차원을 특정하지 않고 포락체(包絡體)로 부르기도 한다. 2차원곡면에 대한 명칭은 포락면(包絡面), 3차원입체(곡포曲胞)에 대한 명칭은 포락포(包絡胞)이다.

구하는 방법[편집]

좌표변수 x, y와 단일 매개변수 t에 대한 곡선군 F(x, y, t) = 0의 포락선은 정의에 의해 모든 x, y, t에 대해 다음 두 식을 만족한다.

F(x, y, t) = {\partial F \over \partial t}(x, y, t) = 0

이 두 식을 이용하여 t를 소거한 방정식이 나타내는 곡선이 바로 포락선이 된다.

예를 들어 t를 매개변수로 가지는 곡선군 2tx-y-t^2=0의 포락선을 구해보자.

특수한 경우의 포락선[편집]

매개변수 방정식이 이차일 경우[편집]

만약 매개변수 방정식 F(x, y, t) = 0이 t에 관한 이차 방정식 A(x, y)t^2 + B(x, y)t + C(x, y) = 0 을 만족할 경우, 이 곡선군의 포락선은 이 이차 방정식의 판별식B^2 = 4AC 에 포함된다.[2] 증명은 다음과 같다.[3] 먼저 위의 조건을 가정하자. 그러면,

0 = 4A(At^2 + Bt + C) = (2At)^2 + 2B(2At) + 4AC = (-B)^2 + 2B(-B) + 4AC = 4AC - B^2.

이렇게 조건으로부터 위 판별식을 끌어낼 수 있다. 그러므로 위의 판별식이 표현하는 식은 포락선을 포함한다.

법선군의 포락선[편집]

앞의 식을 이용하여 임의의 y = f(x) 꼴 곡선의 법선군이 만드는 포락선의 방정식은 다음의 t를 매개변수로 하는 매개변수식의 자취에 포함된다는 것을 보일 수 있다.[3]

  • ([t - \frac{(1 + f^{'}(t)^2)f^{'}(t)}{f^{''}(t)}], [f(t) + \frac{1 + f^{'}(t)^2}{f^{''}(t)}])

포락면[편집]

유사하게, 좌표변수 x, y, z와 단일 매개변수 t에 대한 곡면군 f(x, y, z, t) = 0의 포락면은 모든 x, y, z, t에 대해 다음 두 식을 만족한다.[2]

F(x, y, z, t) = {\partial F \over \partial t}(x, y, z, t) = 0

이중 매개변수 (s, t)에 대한 곡면군 f(x, y, z, s, t) = 0의 포락면은 모든 x, y, z, s, t에 대해 다음 세 식을 만족한다.[2]

F(x, y, z, s, t) = {\partial F \over \partial s}(x, y, z, s, t) = {\partial F \over \partial t}(x, y, z, s, t) = 0

이 식들에서 매개변수를 소거하여 얻는 방정식이 포락면의 방정식이다.

포락 n-체[편집]

임의의 n차원 도형에 대해 포락 n-체를 구할 때 역시 n개의 좌표변수와 최대 n개의 매개변수가 주어진다. 그러면 위에서와 같은 방식으로 찾을 수 있는 최대 n+1개의 연립방정식이 주어지는데, 매개변수를 모두 소거하여 좌표변수만으로 이루어진 방정식을 구하면 그 방정식이 포락 n-체의 방정식이 된다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 김영욱, 〈17세기의 시계 혁명과 하위헌스의 수학〉, 《수학과 교육》, 전국수학교사모임, 2010년 3, 4월호 (79), 59쪽.
  2. 호리에 노부오 외, 《미분적분학 연습》, 도서출판 고섶, 2006, 408쪽.
  3. 위의 책, 409쪽.

참고 문헌[편집]

  • 호리에 노부오 외, 《미분적분학 연습》, 도서출판 고섶, 2006