신개선

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신개선(involute, 伸開線) 또는 인벌류트, 인벌류트곡선(-曲線)은 어떤 곡선의 모든 접선 중 적당한 한 점씩을 포함하는 곡면 위에 놓여 있으며 원 곡선의 모든 접선들과는 수직으로 만나는 또다른 곡선이다. 신개선이 존재하기만 한다면 곡선의 종류는 관계없이 한 곡선에서 다른 곡선을 유도해내게 되는 것이므로 곡선의 미분변환의 일종이다.[1] 일반적으로 한 곡선에서 유도할 수 있는 신개선의 수는 무한하다.[2]

축폐선과는 쌍대적인 관계에 있다. 즉, 곡선 A가 B의 신개선이라면, 정의상 곡선 B는 A의 축폐선이다.[3] 어떤 곡선에서 유도한 축폐선의 접선을 잘 정의할 수 없는 경우가 존재하기 때문에 역은 성립하지 않는다.

구하는 방법[편집]

정의에 따라 평면곡선 \gamma(s) 의 신개선 I(s)의 방정식을 구하면 다음과 같다.[2]

  • I(s) = \gamma(s) - s\mathbf{T}(s)

여기서 s는 길이변수이다. 매개변수 t와 좌표변수 x, y에 대해 유클리드 2차원 평면 상의 매개변수식으로 표시하면, (x(t), y(t))의 임의의 a에 대한 신개선의 식은 다음과 같다.

  • ([x-\frac{x'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}], [y-\frac{y'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}])

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. Martin Lipschutz, 전재복 역, 《미분기하학 개론》, 경문사, 2008, 142쪽.
  2. 같은 책, 143쪽.
  3. 같은 책, 145쪽.

참고 문헌[편집]

  • Martin Lipschutz, 전재복 역, 《미분기하학 개론》, 경문사, 2008