사영 평면

사영기하학에서 사영 평면(射影平面, 영어: projective plane)은 일반적인 평면과 유사하지만, “무한대”의 점이 존재하여 모든 두 직선이 항상 교차하게 되는 결합 구조이다.

정의

다각형

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$ 속의, 크기 $n$의 유한 집합 $P\subseteq X$가 다음 조건을 만족시킨다면, $n$각형($n$角形, 영어: $n$-gon)이라고 한다.

• 임의의 서로 다른 세 점 $x,y,z\in P$에 모두 인접하는 직선 $l\in L$은 존재하지 않는다.

사영 평면

결합 구조 $(X,L,\vartriangleleft )$ 가운데, 다음 세 조건을 만족시키는 것을 사영 평면이라고 한다.

• 임의의 서로 다른 두 점 $x,y\in X$ ($x\neq y$)에 대하여, $x\vartriangleleft l\vartriangleright y$인 유일한 직선 $l\in L$이 존재한다. 이를 보통 ${\overline {xy}}$로 표기한다.
• 임의의 서로 다른 두 선 $l,m\in L$에 대하여, $l\vartriangleright x\vartriangleleft m$인 유일한 점 $x\in X$이 존재한다. 이를 ${\underline {lm}}$으로 표기하자.
• 사각형이 존재한다.

데자르그 사영 평면

사영 평면 $(X,L,\vartriangleleft )$ 속의 두 삼각형 $(x,y,z)$, $(x',y',z')$이 주어졌다고 하고, 그 변들을 각각 $(l,m,n),(l',m',n')$이라고 하자.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 축배경적(영어: axially in perspective)이라고 한다.

• ${\underline {ll'}}$, ${\underline {mm'}}$, ${\underline {nn'}}$ 세 점에 모두 인접하는 직선이 존재한다.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 중심 배경적(영어: centrally in perspective)이라고 한다.

• ${\overline {xx'}}$, ${\overline {yy'}}$, ${\overline {zz'}}$ 세 직선에 모두 인접한 점이 존재한다.

만약 주어진 사영 평면 속의 임의의 두 삼각형에 대하여, 축배경성이 중심 배경성과 동치라면, 이 사영 평면이 데자르그 사영 평면(Desargues영어: Desarguesian projective plane)이라고 한다.

연산

쌍대 사영 평면

사영 평면 $P=(X,L,\vartriangleleft )$이 주어졌을 때, $(L,X,\vartriangleright )$, 즉

• $P$의 각 점에 대응하는 직선을 가지며,
• $P$의 각 직선에 대응하는 점을 가지며,
• $P$에서 인접하는 점과 직선은 인접하는 직선과 점에 대응되는

사영 평면을 구성할 수 있다. 이를 $P$의 쌍대 사영 평면(영어: dual projective plane)이라고 한다.

성질

모든 사영 평면 $(X,L,\vartriangleright )$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $\forall l\in L\colon |\{x\in X\colon x\vartriangleleft l\}|=q+1$인 2 이상의 (유한 또는 무한) 기수 $q$가 존재한다. 즉, 모든 직선은 $q+1$개의 점과 인접한다.
• 모든 점은 $q+1$개의 직선과 인접한다.
• $|X|=|L|=q^{2}+q+1$이다.
• $q\not \in \{6,10\}$이다.

다음과 같은 추측이 존재하지만, 이는 아직 미해결 난제이다.

유한 사영 평면의 차수 $q$는 항상 소수의 거듭제곱이다 (즉, 크기 $q$의 유한체 $\mathbb {F} _{q}$가 존재한다.)

예를 들어, $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{q})$는 차수 $q$의 유한 사영 평면이다.

또한, 다음과 같은 추측이 존재하지만, 이 역시 미해결 난제이다.

소수 차수 $p$의 사영 평면은 $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{p})$ 밖에 없다.

예

사각형이 존재하지 않는 결합 구조

결합 구조 $C_{7}$

결합 구조 가운데, 사영 평면의 세 공리 중 처음 두 개를 만족시키지만 셋째를 만족시키지 못하는 것들은 모두 분류되었으며, 다음 세 족 가운데 하나에 속한다.

• $X=L=\varnothing$. 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 $A$로 표기하자.
• $X$와 $L$은 공집합이 아닌 임의의 집합, $x\in X$, $l\in L$, $R=\{x\}\times L\cup X\times \{l\}$. 이를 $B_{|X|,|L|}$로 표기하자. $B_{|X|,|L|}$의 쌍대 사영 평면은 $B_{|L|,|X|}$이다.
• $S$는 임의의 집합, $L=\{l\}\sqcup S$, $X=\{x\}\sqcup S$, $R=\{x\}\times S\cup S\times \{l\}\cup \{(s,s)\colon s\in S\}$. 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 $C_{|X|}$로 표기하자.

$B_{2,2}=C_{2}$이다. 이 경우를 제외하면, 이 세 족들은 서로소이다.

데자르그 사영 평면

파노 사영 평면 $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{2})$

모든 데자르그 사영 평면은 분류되었으며, 다음과 같은 꼴이다. 어떤 나눗셈환 $K$에 대하여,

• $X={\frac {K\times K\times K\setminus \{(0,0,0)\}}{(x,y,z)\sim (ax,ay,az)\qquad \forall a\in K^{\times },x,y,z\in K}}$
• $L$의 원소는 $K\times K\times K$ 속의 2차원 부분 공간에서 0을 제거한 뒤, 동치 관계를 취한 것이다.

이를 $\mathbb {P} _{K}^{2}$로 표기한다.

특히, 크기 2의 유한체 $\mathbb {F} _{2}$ 위의 사영 평면은 파노 사영 평면(영어: Fano projective plane)이라고 한다.

작은 유한 사영 평면

작은 차수 $q$의 유한 사영 평면들을 생각하자. $q\leq 10$인 유한 사영 평면들은 다음과 같다.

• 유한체 위의 사영 평면 $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{2})$, $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{3})$, $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{4})$, $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{5})$, $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{7})$, $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{8})$, $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{9})$
• 이 밖에도, 차수가 9인 세 개의 비(非)데자르그 사영 평면이 존재한다.

비(非)데자르그 사영 평면

교대 대수 $(A,+,0,\star )$에서, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 그렇다면, $A$ 위의 사영 평면을 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 사영 평면을 무팡 사영 평면(영어: Moufang projective plane)이라고 한다. 모든 데자르그 사영 평면은 무팡 사영 평면이다. 반면, 예를 들어 팔원수 위의 사영 평면은 데자르그 사영 평면이 아닌 무팡 사영 평면이다.

삼진환을 통한 구성

 이 부분의 본문은 삼진환입니다.

모든 사영 평면은 삼진환으로부터 구성될 수 있다. 반대로, 각 삼진환에는 사각형이 주어진 사영 평면을 대응시킬 수 있다.

참고 문헌

• Weibel, Charles (2007년 11월). “Survey of non-Desarguesian planes” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 54 (10): 1294–1303. 
• Salzmann, Helmut; Betten, Dieter; Grundhöfer, Theo; Hähl, Hermann; Löwen, Rainer; Stroppel, Markus (1995). 《Compact projective planes. With an introduction to octonion geometry》. De Gruyter Expositions in Mathematics (영어) 21. Walter de Gruyter & Co. ISBN 978-3-11-087683-3. 2015년 11월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 16일에 확인함. 

외부 링크

• “Projective plane”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective plane”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective plane PK²”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Moufang plane”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.